Mathe Glossar

Weißt du was ein Abakus oder ein stumpfer Winkel ist? Oder was der Satz des Pythagoras aussagt? Das bettermarks Mathe Glossar stellt Euch mathematische Definitionen und Erklärungen für viele wichtige mathematische Begriffe bereit.

Abakus

Aus dem Altertum stammendes Rechenbrett mit verschiebbaren Steinen/Kugeln. In Russland und in einigen asiatischen Ländern noch im 20. Jahrhundert im Gebrauch.  

Abbildung

(auch Funktion genannt) Bei einer Abbildung f von einer Menge M in eine Menge N wird jedem Element aus M genau ein Element aus N zugeordnet.Dabei können mehrere Elemente von M demselben Element von N zugeordnet sein. Ist dies nicht der Fall, so nennt man die Abbildung injektiv. Die Elemente von N, denen mindestens ein […]

Abel, Niels Henrik

Name: Niels Henrik Abel Geboren: 1802 in Finnøy (Norwegen) Gestorben: 1829 in Froland (Norwegen) Lehr-/Forschungsgebiete: Algebra, Analysis, Funktionentheorie, Gruppentheorie Niels Henrik Abel war ein norwegischer Mathematiker, der im ersten Drittel des 19. Jahrhunderts lebte. Abel war Mitbegründer der Gruppentheorie und entwickelte Analysis und Funktionentheorie entscheidend weiter. Ein großes Verdienst dabei war die Einführung strengerer Methoden. […]

Ableitung

Die Ableitung einer Funktion  in einem Punkt  ist die Steigung der Tangente an den Graph der Funktion in diesem Punkt. Man betrachtet dazu den Differenzenquotienten, das heißt die Steigung der Sekante durch die Punkte  und . Besitzt dieser für  gegen  einen Grenzwert, so heißt  im Punkt  differenzierbar. Der Grenzwert heißt ->Differenzialquotient oder die Ableitung im […]

Ableitungsfunktion

Ist eine Funktion f differenzierbar, so erhält man eine neue Funktion, die Ableitungsfunktion f’, indem man jedem Element des Definitionsbereichs den zugehörigen Differentialquotienten zuordnet.

absolutes Glied

In einer algebraischen Gleichung oder einer Abbildungsvorschrift eines Polynoms ist das absolute Glied derjenige Summand, der kein x enthält. Beispiel: Hier ist ’13′ das absolute Glied.

Abstand

Der Abstand zweier Punkte P und Q in der Ebene (oder im Raum) ist die Länge der Strecke PQ. Der Abstand eines Punkts P von einer Geraden g ist der Abstand von P zu dem Fußpunkt des Lots von P auf g. Der Abstand eines Punkts P von einer Ebene E ist der Abstand von P […]

Abszisse

Ist ein anderer Name für die x-Koordinate im Koordinatensystem.

Abziehverfahren

Beim Abziehverfahren als spezieller Form der Subtraktion rechnest du im Gegensatz zum Ergänzungsverfahren „von oben nach unten“ soweit die stellenweise Subtraktion möglich ist. Ist die Subtraktion nicht unmittelbar möglich, so wird eine höhere Stelle entbündelt. Beispiel: . Du rechnest von rechts nach links:, das ist die Einerstelle. Die nächste Stelle: geht nicht, also rechnest du […]

Achsenabschnittsform

Darstellung einer Gerade als ->Kurve mit der Gleichung .Wenn du x = 0 bzw. y = 0 setzt, erhältst du sofort den Schnittpunkt mit der y-Achse (0, c/b) (falls b ≠ 0) bzw. mit der x-Achse (c/a, 0) (falls a ≠ 0).Ist b = 0 oder a = 0, so wird nur eine der Koordinatenachsen […]

achsensymmetrisch

Eine  geometrische Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie bei Spiegelung an einer Achse in sich übergeführt wird. Bei einer Funktion f spricht man von Achsensymmetrie (zum Beispiel zur y-Achse), wenn ihr Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Das gilt genau dann, wenn .->Symmetrieachse

addieren

Addieren (lat.) heißt „hinzufügen“ oder auch „zusammenzählen“ von zwei oder mehreren Zahlen.

Addition

Die Addition ist eine der vier Grundrechenarten. Bei der Addition wird zu einer vorgegebenen Anzahl von Dingen eine Anzahl weiterer Dinge dazu gezählt. Beispiel: Du hast 3 Bonbons und deine Mutter gibt dir noch 4 Bonbons dazu. Dann hast du 7 Bonbons. Diesen Vorgang (->Rechenoperation) drückt man in der Mathematik mit dem Rechenzeichen + (sprich: […]

Addition von Quadratwurzeln

Du kannst nur Quadratwurzeln direkt addieren, die dieselbe Zahl unter dem Wurzelzeichen (also denselben Radikanten) haben.Beispiel:  Sind die Radikanten unterschiedlich, so kannst du die Wurzeln nicht direkt zusammenziehen. Beispiel:  kann nicht zusammengefasst werden. Dagegen gilt:

Addition von Termen

Gleiche Terme, also Terme, die sich nur im Koeffizienten unterscheiden, kannst du unmittelbar addieren. Das folgt unmittelbar aus dem Distributivgesetz. Beispiel: Sind die Terme nicht gleich, so kannst du sie nicht zusammenfassen.Beispiel: kannst du nicht zusammenfassen.

Addition von Wahrscheinlichkeiten

Sind die beiden ->Ereignisse E1 und E2 unabhängig, ist also , so ist die Wahrscheinlichkeit, dass eines der beiden Ereignisse eintritt die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten:

Additionssysteme

Additionssysteme sind Systeme zur Darstellung von Zahlen, bei denen der Wert einer Zahl durch Addieren bzw. Subtrahieren der verschiedenen vorhandenen Ziffern dargestellt wird. Das Notieren jeweils durch einen Strich „|“ ist ein Additionssystem; so notierte Robinson Crusoe die Tage auf seiner Insel. Die römischen Zahlen bilden ein Additionssystem, ebenso der Abakus.Das Dezimalsystem ist kein Additionssystem.

Additionstheorem

Für ,  und  zweier Winkel  und  gilt: und und

Additionsverfahren (Additionsmethode)

Das Additionsverfahren ist ein Lösungsverfahren für Gleichungssysteme (neben Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren). Beispiel: und (mit zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten) Um durch Addition der beiden Gleichungen eine Unbekannte zu eliminieren, multiplizierst du zum Beispiel die zweite Gleichung mit  und erhältst: . Addierst du nun die erste Gleichung und diese veränderte zweite Gleichung, so verschwindet die Unbekannte , […]

additive Gruppe

Eine additive Gruppe ist eine ->Gruppe, bei der die Verknüpfung als „“ geschrieben wird. Sie wird meist nur betrachtet, wenn gleichzeitig auch eine multiplikative Gruppe mit dem Verknüpfungszeichen „•“ betrachtet wird. Beispiel: Die Menge der rationalen Zahlen, , ist mit der Addition eine additive Gruppe, die Teilmenge  ist mit der Multiplikation eine multiplikative Gruppe.   

Adjunktion

Aussagenlogischer Begriff entspricht dem mathematischen (nichtausschließenden) ODER mit der WahrheitstafelWWWWFWFWWFFF

aeußeres Produkt

siehe ->Kreuzprodukt, Vektorprodukt

Al-Battani

Name: Al-Battani Geboren: um 860 in Harran (heutige Türkei) Gestorben: 929 in Qasr al-Dschiss (im heutigen Irak) Lehr-/Forschungsgebiete: Astronomie, Trigonometrie Al-Battani war ein arabischer Mathematiker und Astronom, der um 900 lebte. Die Einführung des Sinus und der Beweis einer Tangens-Identität machen ihn zu einem Vorreiter der Trigonometrie. In der Astronomie ist sein bekanntestes Resultat die Berechnung […]

Al-Chwarizmi

  Name: Al-Chwarizmi Geboren: 780, vermutlich in Choresmien (Zentralasien) Gestorben: um 850, vermutlich in Bagdad (Irak) Lehr-/Forschungsgebiete: Algebra, Astronomie, Geografie Al-Chwarizmi war ein persisch-muslimischer Mathematiker, Geograph und Astronom des 9. Jahrhunderts. Er prägte das mathematische Denken in entscheidender Weise, indem er die Grundlagen für die Algebra entwickelte und das Stellenwertsystem einschließlich der Zahl Null aus […]

Al-Kashi

Name: Al-Kashi Geboren: 1380 in Kaschan (im heutigen Iran) Gestorben: 1429 in Samarkand (im heutigen Usbekistan) Lehr-/Forschungsgebiete: Astronomie, Trigonometrie, Zahlentheorie Al-Kashi war ein persischer Arzt, Mathematiker und Astronom, der von 1380 bis 1429 lebte. Besonders bekannt ist er für die Formulierung des Kosinussatzes und die Näherung der Kreiszahl Pi auf 16 Dezimalstellen. Leben Ghiyath ad-Din […]

Algebra

Algebra bezeichnet heute ganz allgemein die Theorie algebraischer Strukturen: Gruppen, Ringe, Körper, Mengenalgebra, Boolesche Algebra. Sie hat sich aus der „elementaren“ Algebra entwickelt. Diese umfasst das Rechnen mit ganzen, rationalen und reellen Zahlen (oder auch ->komplexe Zahlen), sowie den algebraischen Gleichungen und deren Auflösung. Da es bei den algebraischen Operationen auf die einzelnen Zahlenwerte oft […]

algebraische Gleichung (mehrere Variable)

In der Zahlentheorie und in der analytischen Geometrie werden auch Gleichungen mit mehreren Unbekannten x, y oder z studiert. Beispiel: .->Diophantische Gleichung, ->algebraische Kurve

algebraische Gleichung (eine Variable)

Eine Gleichung der Form , wobei die Koeffizienten  Zahlen sind. Grundaufgabe ist die Auflösung einer solchen algebraischen Gleichung, d.h., es sollen alle Zahlen aus einem vorgegebenen Zahlbereich gefunden werden, die, für die Unbekannte x eingesetzt, die Gleichung erfüllen.  Ist , so heißt n der Grad der Gleichung. Beispiele:   Gleichung 2. Grades ->quadratische Gleichung, Gleichung […]

algebraische Kurve

Eine Kurve in der Ebene, die durch eine algebraische Gleichung mit zwei Variablen gegeben ist.Beispiele sind:1. Geraden mit der allgemeinen Gleichung 2. Kegelschnitte mit der allgemeinen Gleichung , speziell Kreise, Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln3. Kurven höherer Ordnung wie (cartesisches Blatt) oder  (Lemniskate)

algebraische Zahl

Eine algebraische Zahl ist eine reelle Zahl, die eine algebraische Gleichung (in einer Variablen) mit ganzzahligen Koeffizienten erfüllt. Es hat bis zum Jahr 1844 gedauert, bis man konkrete reelle Zahlen angeben konnte, die nicht algebraisch sind (Beispiel von Liouville). Solche Zahlen nennt man transzendent.  Die wichtigsten Zahlen der Mathematik (neben 1 und 0 ), die […]

Algorithmus

Ein Verfahren, mit dem durch Wiederholung einfacher algebraischer Rechenschritte ein Problem gelöst werden kann. Besondere Bedeutung haben Algorithmen durch ihre Umsetzung als Computerprogramme gewonnen.

Allgemeingültigkeit

Eine Aussagenform ist allgemeingültig, wenn bei jeder Belegung der Aussagenform eine wahre Aussage entsteht. Beispiel Beispiel in Worten: Die Aussage „Wenn es regnet, bleibe ich zu Hause“ ist logisch äquivalent mit der Aussage „Es regnet nicht oder ich bleibe zu Hause“.

Alternative

Aussagenlogischer Begriff. Entspricht dem ->ODER.

alternierende Quersumme

Man erhält die alternierende Quersumme einer Zahl, wenn man die Ziffern an den geraden Stellen und die an den ungeraden Stellen jeweils addiert und anschließend die Differenz bildet. Bis auf eventuell das Vorzeichen erhält man diese auch, wenn man die Ziffern beginnend mit der kleinsten Stelle abwechselnd subtrahiert und addiert. Anwendung findet die alternierende Quersumme […]

alternierende Reihe

Eine (unendliche) Reihe, bei der abwechselnd positive Zahlen addiert und subtrahiert werden, heißt alternierend. Streben diese Zahlen monoton gegen 0, wie zum Beispiel im Falle  für  , so hat die unendliche Reihe einen endlichen Wert (Leibniz-Kriterium), im genannten Fall ln(2) (->natürlicher Logarithmus von 2). Wenn man sich auf die alternierenden Kehrwerte der ungeraden Zahlen beschränkt […]

Analysis

Analysis ist eine andere Bezeichnung für die ->Differenzialrechnung und die ->Integralrechnung.

analytische Geometrie

Die analytische Geometrie löst geometrische Probleme (z.B. Schnitt von Geraden oder Ebenen oder allgemeineren Kurven und Flächen) mit den Mitteln der Analysis. Dazu werden die geometrischen Kurven mit Hilfe von Koordinaten und algebraischen Gleichungen dargestellt: Ein Punkt  gehört zu einer ebenen Kurve, wenn die Koordinaten x und y die algebraische Gleichung erfüllen.  Beispiele:Gegeben sind die […]

Ankathete

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt zwei Seiten, die am rechten Winkel anliegen; diese Seiten bezeichnet man als Katheten. Die dem rechten Winkel gegenüber liegende Seite bezeichnet man als Hypotenuse. Die Ankathete eines Winkels ist die Kathete, die mit der Hypotenuse den betrachteten Winkel bildet.

Apollonios von Perge

Name: Apollonios von Perge Geboren: um 260 v. Chr in Perge (in der heutigen Türkei) Gestorben: um 190 v. Chr. in Alexandria (Ägypten) Lehr-/Forschungsgebiete: Geometrie, Arithmetik, Astronomie Apollonios von Perge war ein griechischer Mathematiker und Astronom des 3. Jahrhunderts v. Chr.. Er ist vor allem für seine Arbeiten zu Kegelschnitten berühmt und lieferte auch wichtige […]

Ar

Das Ar (a) ist eine Flächenmaßeinheit für eine quadratische Fläche mit der Kantenlänge 10 m. Also: 1 a = 100 m². 

Archimedes von Syrakus

Name: Archimedes von Syrakus Geboren: 287 v. Chr. in Syrakus (auf Sizilien) Gestorben: 212 v. Chr. in Syrakus Lehr-/Forschungsgebiete: Mathematik, Physik, Astronomie Archimedes war ein griechischer Mathematiker, Physiker, Ingenieur und Erfinder des 3. Jahrhunderts v. Chr.. Seine Erfindungen und seine wissenschaftlichen Beiträge sind legendär. Archimedes entdeckte die Hebelgesetze und das Aufstiegsprinzip in der Physik. In […]

archimedischer Körper

Archimedische Körper sind konvexe Körper gebildet aus verschiedenen regelmäßigen Vielecken, die an den Ecken in gleicher Weise aufeinander treffen. Neben den fünf regelmäßigen Körpern, den ->platonischen Körpern, bei denen alle Seitenflächen gleich sind, gibt es insgesamt 13 archimedische Körper.1. Abgestumpfter Würfel 2. Abgestumpftes Tetraeder 3. Abgestumpftes Dodekaeder 4. Abgestumpftes Ikosaeder 5. Abgestumpftes Oktaeder 6. Großes […]

Arcusfunktionen

Die Arcusfunktionen arcsin, arccos und arctan sind Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen sin, cos und tan.Der Definitionsbereich von arcsin und arccos ist jeweils [-1, 1] (der Wertebereich von sin und cos), der von arctan die gesamte reelle Zahlengerade.

Arithmetik

Die Arithmetik umfasst das Rechnen mit ganzen Zahlen, Bruchzahlen oder reellen Zahlen, soweit es nicht über die Grundrechenarten hinaus geht.

arithmetische Folge

Eine Folge von Zahlen heißt arithmetisch, wenn zwei benachbarte Folgenglieder stets die gleiche Differenz haben. Beispiel:die geraden Zahlen und die ungeraden Zahlen. Hier ist der Anstand jeweils 2.

arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel zweier Zahlen a und b ist ihr Mittelwert  .

Aryabhata (der Ältere)

Name: Aryabhata (der Ältere) Geboren: 476 in Indien (genauer Ort umstritten) Gestorben: um 550 in Indien (Ort unbekannt) Lehr-/Forschungsgebiete: Zahlentheorie, Algebra, Trigonometrie, Astronomie Aryabhata war ein indischer Mathematiker und Astronom, der um das 5. Jahrhundert nach Christus lebte. Er legte die Grundlagen für unser heutiges Zahlensystem sowie für die Sinus-Funktion und entwickelte ein Lösungsverfahren für […]

Assoziativgesetz

Sowohl die Addition als auch die Multiplikation von Zahlen erfüllen das Assoziativgesetz: Für beliebige Zahlen n, m und k gilt und . Allgemeiner ist das Assoziativgesetz für die Verknüpfung einer ->Gruppe (oder auch nur ->Halbgruppe) gültig.

Asymptote

Eine Gerade, die sich einem gegebenen Graphen einer Funktion f beliebig dicht nähert, ohne diesen zu berühren oder zu schneiden. Die Annäherung kann in y-Richtung (Annäherung an eine vertikale Gerade) oder x-Richtung (Annäherung an eine Gerade  ) stattfinden.Beispiel: Bei der Hyperbel sind die Geraden (x-Achse) und (die y-Achse) Asymptoten.

Atto (Vorsilbe)

Atto bedeutet ein Trillionstel. Ein Atto (Schreibweise a) ist . Ein Ganzes = 1 000 000 000 000 000 000 Atto.

Aufriss

Der Aufriss ist Bild eines Körpers durch Parallelprojektion auf eine vertikale Ebene.

Außenradius

Der Außenradius eines Kreisrings ist der größere – äußere – Radius vom Mittelpunkt zum äußeren Ring.

Außenwinkel

Der Außenwinkel ist der Winkel, der einen Innenwinkel eines Dreiecks zu 180° ergänzt.

Ausklammern

Die Anwendung des Distributivgesetzes: Beispiele:  – hier wird 2 ausgeklammert;  – hier wird 2a ausgeklammert.Kann man in einer Summe jeden Summanden so in ein Produkt von Faktoren zerlegen, dass ein Faktor in jedem Summanden vorkommt, so kann man diesen Faktor ausklammern.

Ausmultiplizieren

Die Anwendung des Distributivgesetzes: Beispiele:    

Aussage

Unter einer Aussage versteht die zweiwertige Aussagenlogik, ein sprachliches Gebilde, von dem man eindeutig sagen kann, ob es wahr (w) oder falsch (f) ist: ein Drittes gibt es nicht (->tertium non datur). Der Satz: „“ ist eine – allerdings falsche – Aussage. Der Satz „Morgen ist schönes Wetter“ ist keine Aussage, da man nicht eindeutig […]

Axiom

Axiome sind nicht beweisbare Aussagen, aus denen weitere Aussagen durch logisches Schließen abgeleitet werden können.Beispiel:Die ->Peano-Axiome, die die natürlichen Zahlen charakterisieren.