Mathe Glossar

Weißt du was ein Abakus oder ein stumpfer Winkel ist? Oder was der Satz des Pythagoras aussagt? Das bettermarks Mathe Glossar stellt Euch mathematische Definitionen und Erklärungen für viele wichtige mathematische Begriffe bereit.

Banach, Stefan

Name: Stefan Banach Geboren: 1892 in Krakau (Polen) Gestorben: 1945 in Lemberg (Ukraine) Lehr-/Forschungsgebiete: Funktionalanalysis, Mengenlehre, Maßtheorie, Theorie der Reihen und Folgen Stefan Banach war ein polnischer Mathematiker, der von 1892 bis 1945 lebte. Er war einer der Begründer der modernen Funktionalanalysis und der Lemberger Mathematikschule. Zu seinen bekanntesten Ergebnissen zählen die Einführung der Banachräume, […]

Basis (einer Potenz)

Bei einer ->Potenz ( b -mal die Zahl a als Faktor) bezeichnet man die Zahl a als Basis und die Zahl b als Exponenten. Dies wird auch auf allgemeinere Potenzen übertragen, bei denen a und b keine ganzen Zahlen mehr sind.

Basislinie

Im rechtwinkligen Dreieck versteht man unter der Basislinie die Hypotenuse, in einem allgemeinen Dreieck wird oft die längste Seite als Basislinie bezeichnet.

Basiswinkelsatz (gleichschenkliges Dreieck)

Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich. Gilt etwa   so ist das Winkelmaß des dritten Winkels  .

Bayes’sche Regel

Die Bayesche Regel wird in der Stochastik verwendet, wenn man bestimmte Einzelwahrscheinlichkeiten kennt und daraus eine totale Wahrscheinlichkeit berechnen will. Sind A und B Ereignisse mit  und , so gilt:Beispiel: 0,1 % der Bevölkerung sind TB-krank; Ein medizinischer Test für TBC-Erkennung zeigt in 95% aller positiven Fälle eine vorliegende Erkrankung an; bei Gesunden zeigt der […]

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Sind A, B beliebige Ereignisse mit , so bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A. Es gilt: Man muss streng zwischen  und  unterscheiden: es sind unterschiedliche Bezugsmengen.Während sich  auf die Gesamtheit  bezieht, so ist bei  die Bezugsmenge A.

Behauptung

In der Aussage der Form „Wenn A dann B“ nennt man A die Voraussetzung und B die Behauptung (Konklusion).

Beliebige Dreiecke

Beliebige Dreiecke sind Dreiecke mit drei unterschiedlichen Winkeln und drei unterschiedlich langen Seiten. Wenn drei dieser sechs verschiedenen Informationen vorliegen, kann man manchmal die drei fehlenden Seitenlängen/Winkel bestimmen und das Dreieck zeichnen. Man verwendet dazu die „Kongruenzsätze“. Die fehlenden Angaben eines Dreiecks können stets eindeutig bestimmt werden, wenn gegeben ist: sss, sws, wsw, Ssw, wobei […]

Bernoulli, Jakob I.

Name: Jakob I. Bernoulli Geboren: 1654 in Basel Gestorben: 1705 in Basel Lehr-/Forschungsgebiete: Infinitesimalrechnung, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Variationsrechnung Jakob Bernoulli war ein Schweizer Mathematiker des 17. Jahrhunderts. Er und sein Bruder Johann begründeten den Ruf der Familie Bernoulli als Mathematiker-Familie. Seine wichtigsten Beiträge zur Mathematik machte er auf den Gebieten der Infinitesimalrechnung und der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Nach ihm […]

Bernoulli, Johann

  Name: Johann Bernoulli Geboren: 1667 in Basel Gestorben: 1748 in Basel Lehr-/Forschungsgebiete: Analysis, Infinitesimalrechnung, Variationsrechnung, Physik Johann Bernoulli war ein Schweizer Mathematiker, der von 1667 bis 1748 lebte. Seine bedeutendsten wissenschaftlichen Beiträge lieferte er zur Integralrechnung und Analysis sowie zur Hydraulik. Er war der Bruder des Mathematikers Jakob Bernoulli und Vater von Daniel, Nikolaus […]

Bernoulli-Ungleichung

Die Bernoulli-Ungleichung nach dem Mathematiker Jakob I. Bernoulli lautet:  für alle natürlichen Zahlen n und alle reellen .Der Beweis erfolgt durch ->vollständige Induktion. Man verwendet sie etwa zum Beweis der Konvergenz der Folge .

Berührpunkt (Berührungspunkt)

In der ebenen Geometrie versteht man unter Berührpunkt zweier Kurven einen gemeinsamen Punkt, in dem die beiden Kurven dieselbe Tangente besitzen.

beschränkte Folge

Eine Folge  heißt nach oben beschränkt, wenn es eine feste Zahl c gibt, so dass für alle Werte der Folge gilt: . In diesem Fall ist  die obere Schranke.Gilt stets für eine feste Zahl, so ist sie nach unten beschränkt und c heißt unter Schranke. Eine nach oben und unten beschränkte Folge ist beschränkt.

bestimmtes Integral

Unter einem bestimmen Integral versteht man einen Ausdruck der Form:.Für eine auf dem Intervall positive Funktion gibt das bestimmte Integral den Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse an.Ist F die Stammfunktion von f, d.h.  differenzierbar mit , so gilt der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung.

Betrag

Der Betrag  einer reellen Zahl ist definiert als  für  und als  für .

Bewegung

Eine Bewegung ist eine Kongruenzabbildung: Bild und Ausgangsfigur sind deckungsgleich oder kongruent. Die Figur ist dann nur verschoben oder verdreht oder gespiegelt.

Beweis

Neue Sätze werden in der Mathematik auf der Grundlage bereits bekannter Sätze, vorhandener Axiome und logischen Schlussregeln hergeleitet. Eine solche Herleitung nennt man Beweis.

Bhaskara I.

  Name: Bhaskara I. Geboren: um 600 nach Christus in Saurashtra (Indien) Gestorben: um 680 nach Christus in Ashmaka (Indien) Lehr-/Forschungsgebiete: Astronomie, Arithmetik, Trigonometrie Bhaskara I. war ein indischer Mathematiker und Astronom des 7. Jahrhunderts nach Christus. Er gilt als Wegbereiter des heutigen Zahlensystems, indem er als erster mit Ziffern in einem Stellenwertsystem zur Basis […]

Bhaskara II.

Name: Bhaskara II. Geboren: 1114 nahe Bijapur (Südindien) Gestorben: um 1185 (genauer Ort unbekannt) Lehr-/Forschungsgebiete: Zahlentheorie, Algebra, Trigonometrie, Geometrie, Astronomie Bhaskara II. war ein indischer Mathematiker und Astronom des 12. Jahrhunderts. Zu seinen zahlreichen Beiträgen zur Mathematik zählen Regeln für das Rechnen mit negativen Zahlen und der Null sowie eine frühe Form der Infinitesimalrechnung. Leben […]

bijektiv

Eine ->Abbildung heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Eine bijektive Abbildung lässt sich umkehren.

Bijunktion

Aussagenlogischer Begriff entspricht dem „genau dann,  wenn“. Die zugehörige Wahrheitstafel lautet:           WWWWFFFWFFFWDiese Aussage ist nur dann wahr, wenn A und B wahr sind oder wenn A und B falsch sind.

Billiarde

 1 Billarde =

Billion

1 Billion =

Binärsystem (Dualsystem)

Ein ->Stellenwertsystem zur Darstellung von Zahlen aus zwei Zeichen, wofür in der Mathematik meist  0 und 1 gewählt werden. Dient als Grundlage der elektronischen Datenverarbeitung (EDV) und wird realisiert durch die Zustände „Es fließt Strom“ und „Es fließt kein Strom“.dezimaldual     1121031141005101611071118100091001101010

Binärzahlen addieren

Der Addition im Dezimalsystem entspricht im Dualsystem die Addition . Sie beruht auf: , und .

Binärzahlen multiplizieren

Die Multiplikation im Dualsystem funktioniert genauso wie im Dezimalsystem. Man schreibt die beiden Faktoren nebeneinander und multipliziert „von links nach rechts“ die einzelnen Ziffern des linken Faktors mit allen Ziffern des rechten Faktors unter Beachtung von , und . Anschließend addiert man die Zahlen.Beispiel: Es soll gerechnet werden:13 entspricht 11019 entspricht 10011101·1001       1101     0000   0000 1101 1110101 […]

Binärzahlen subtrahieren

Die Subtraktion erfolgt nach denselben Regeln wie im Dezimalsystem. Beispiel: dezimal wird wie folgt gerechnet: .

Binomialkoeffizient

Die Binomialkoeffizienten ergeben in der Kombinatorik die Anzahl der Möglichkeiten, aus n Objekten k Objekte auszuwählen, wobei die Reihenfolge nicht berücksichtig wird. Formal: . Sie werden auch bei der allgemeinen ->binomischen Formel verwendet.

Binomialverteilung

Unter einer Binomialverteilung versteht man die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines ->Bernoulli-Experiments mit und  . Für eine Stichprobe vom Umfang n ist die Wahrscheinlichkeit, dass k-mal das Ereignis E eintritt: .Das ->Galton-Brett kann zur Veranschaulichung dienen. In der Stochastik gibt bei einem ->Bernoulli-Experiment die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass man bei n unabhängigen Versuchen mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit p […]

Binomische Formeln

In der einfachsten Weise:    (erste binomische Formel)   (zweite binomische Formel)     (dritte binomische Formel)  Allgemein:

biquadratische Gleichung

Eine biquadratische Gleichung  ist eine Gleichung 4. Grades, in der nur die 2. und 4. Potenz sowie ein absolutes Glied vorkommen. Sie kann durch die Substitution  in eine quadratische Gleichung umgewandelt und gelöst werden. Beispiel:Die Substitution ergibt    

Bogenmaß

Maß, bei dem ein Winkel statt in Grad durch die Länge des zugeordneten Bogens am Einheitskreis gemessen wird. Wird vor allem bei den trigonometrischen Funktionen , und verwendet, wenn Winkel größer als auftreten. Da der Einheitskreis den Umfang hat, entsprechen der Zahl oder dem Wert .

Bolzano, Bernhard

Name: Bernhard Bolzano Geboren: 1781 in Prag Gestorben: 1848 in Prag Lehr-/Forschungsgebiete: Analysis, Geometrie Bernhard Bolzano war ein böhmischer Mathematiker, Theologe und Philosoph, der im 18. und 19. Jahrhundert lebte. In der Mathematik lag ein Schwerpunkt seiner Untersuchungen in der Präzisierung der Analysis. Bekannt ist außerdem der Satz von Bolzano-Weierstraß über beschränkte Folgen komplexer Zahlen. […]

Boolesche Algebra

Die Boolesche Algebra findet Anwendung in der Aussagenlogik, der Mengenalgebra und der Schaltalgebra.Unter einer Booleschen Algebra versteht man eine Menge B mit zwei inneren Verknüpfungen , , für die die folgenden Axiome erfüllt sind:   1. Für alle a, b, c aus B gilt:       und (Assoziativgesetze)    2. Für alle a, b aus B gilt:       und  […]

Brahmagupta

Name: Brahmagupta Geboren: um 598 im Nordwesten des heutigen Indiens Gestorben: um 670 vermutlich in Ujjain (Indien) Lehr-/Forschungsgebiete: Zahlentheorie, Algebra, Geometrie, Astronomie Brahmagupta war ein indischer Astronom und Mathematiker des 7. Jahrhunderts. Sein Hauptwerk  Brahmasphutasiddhanta hatte großen Einfluss auf die arabischen Wissenschaftler und seine Erkenntnisse gelangten über Übersetzungen aus dem Arabischen später auch ins mittelalterliche […]

Breite

Ein Rechteck hat zwei gegenüberliegende parallele Seitenpaare. Die kürzere Seitenlänge heißt die Breite, die längere Seitenlänge die Länge eines Rechtecks.

Brouwer, Luitzen Egbertus Jan

Name: Luitzen Egbertus Jan Brouwer Geboren: 1881 in Overschie (Niederlande) Gestorben: 1966 in Blaricum (Niederlande) Lehr-/Forschungsgebiete: Topologie, Mengenlehre, Maßtheorie, Funktionentheorie, Logik Luitzen Egbertus Jan Brouwer war ein niederländischer Mathematiker und Philosoph, der von 1881 bis 1966 lebte. Zu den Schwerpunkten seiner Arbeit zählte die Topologie, die er unter anderem um den Fixpunktsatz von Brouwer und […]

Bruch

Ein Bruch besteht aus Zähler, Bruchstrich und Nenner. Der Zähler steht oberhalb, der Nenner unterhalb des Bruchstrichs. Brüche verwendet man immer dann, wenn man Anteile eines Ganzen beschreiben will.Der Zähler gibt an wie viele gleich große Teile von einem Ganzen ausgewählt werden sollen. Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze […]

Bruch (unechter)

Unter einem unechten Bruch versteht man einen Bruch, in dem der Zähler größer ist als der Nenner. Beispiel: .Ein unechter Bruch ist stets größer als 1. Man kann einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl bestehend aus einer ganze Zahl und einem Bruch umwandeln .

Brüche addieren

Beim Addieren von Brüchen musst du die Nenner der zu addierenden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (in der Regel auf  den ->Hauptnenner) bringen. Erst dann kannst du die Zähler addieren. ->Gleichnamige Brüche können direkt addiert werden.

Brüche dividieren

Ein Bruch wird durch einen zweiten dividiert, indem du den ersten mit dem ->Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizierst.

Brüche multiplizieren

Beim Multiplizieren von Brüchen rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

Brüche subtrahieren

Beim Subtrahieren von Brüchen musst du die Nenner des Minuenden und den des Subtrahenden auf einen gemeinsamen Nenner bringen (in der Regel auf den ->Hauptnenner). Erst dann kannst du die Zähler subtrahieren. ->Gleichnamige Brüche können direkt subtrahiert werden.

Brüche vergleichen

Bei gleichnamigen Brüchen gilt: Der Bruch mit dem größeren Zähler, ist auch der größere Bruch. Bei zählergleichen Brüchen gilt: Der Bruch mit dem größeren Nenner ist der kleinere Bruch, da ein Ganzes in mehr Teile aufgeteilt wird. Bei ungleichnamigen Brüchen kannst du die Brüche zunächst gleichnamig machen, indem du sie durch Kürzen oder Erweitern auf […]

Bruchgleichung

Unter einer Bruchgleichung versteht man in der Schulmathematik eine Bestimmungsgleichung, die mindestens eine Unbekannte im Nenner erhält.Beispiel: 1. Definitionsbereich: Da der Nenner nie Null sein kann, muss der Definitionsbereich für die Werte eingeschränkt werden, für die der Nenner nicht null wird.Im Beispiel gilt: falls und , falls oder . Damit ist der maximale Definitionsbereich  .2. […]

Bruchteil

Ein „Bruchteil“ von einem Ganzen kann in Form eines Bruches angegeben werden. Ein Halbes: , ein Drittel: , drei Viertel: usw.

Bruchterm

Ein Bruchterm ist ein Quotient, in dem im Nenner mindestens eine Variable (meist x) vorkommt. Beispiel: Bei der Auswertung von Bruchtermen sind die Werte der Variablen ausgeschlossen, für die der Nenner null wird. oder oder oder Definitionsbereich: