Mathe Glossar

Weißt du was ein Abakus oder ein stumpfer Winkel ist? Oder was der Satz des Pythagoras aussagt? Das bettermarks Mathe Glossar stellt Euch mathematische Definitionen und Erklärungen für viele wichtige mathematische Begriffe bereit.

Paar

Ein 2er-Tupel (a,b) mit a aus A und b aus B nennt man Paar. Zwei geordnete 2er-Tupel (a,b) und (c,d) sind genau dann gleich wenn a=c und b=d.

Paarmenge

Die Menge von Paaren nennt man Paarmenge; sie ist eine Teilmenge der -> Produktmenge zweier Mengen.

Parabel

Die Funktionsgleichung einer Parabel hat die Form y=ax²+bx+c, mit reellen Zahlen a, b und c. Diese haben eine geometrische Bedeutung: a ist der Stauch- oder Streckfaktor der Parabel, b bewirkt eine Verschiebung längs der x-Achse und c gibt den y-Achsenabschnitt an.

Paradoxon

Ein Paradoxon ist eine scheinbar widersinnige Folgerung.

Paradoxon von Zenon

Zenon (ca. 500 v.Chr) hat behauptet, dass im Wettlauf zwischen einer Schildkröte und dem griechischen Helden Achilles dieser die Schuldkröte nie einholen kann, wenn sie einen gewissen Vorsprung besitzt. In der Zeit, in der Achilles den Vorsprung der Schildkröte einholt, ist sie bereits ein Stück weiter gelaufen. Dies geht immer so weiter und deshalb kann […]

Parallelbüschel

Alle zu einer gegebenen Geraden parallelen Geraden nennt man ein Parallelbüschel. Alle zueinander parallelen Ebenen nennt man ebenfalls Parallelbüschel.

Parallele

Zwei in einer Ebene liegenden Geraden, die keinen (oder alle) Punkt gemeinsam haben, sind parallele Geraden. Zwei Ebenen sind im dreidimensionalen Raum parallel, wenn sie keinen (oder alle) Punkte gemeinsam haben.

Parallelenaxiom

In der euklidischen Ebene gibt es zu jeder Geraden (g) und jedem Punkt (P) außerhalb der Geraden genau eine Gerade (h), auf der P liegt und die keinen gemeinsamen Punkt mit g besitzt. Dieses Axiom kann nicht aus den anderen euklidischen Axiomen abgeleitet werden. Lässt man dieses Axiom fallen, so kommt man zur -> nicht-euklidischen […]

Parallelflach

siehe: -> Spat. Ein Körper der durch Parallelogramme begrenzt wird, wobei je zwei gegenüberliegende Parallelogramme deckungsgleich sind.

Parallelogramm

Ein Parallelogramm ist ein ebenes Viereck, bei dem die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sind.

Parallelogramm-Gleichung

In einem Parallelogramm ist die Summe der Quadrate über zwei benachbarten Seiten gleich der Summe der Quadrate über den Diagonalen: 2a²+2b²=d²+e². Hier sind a und b die Seitenlängen, d und e die Längen der beiden Diagonalen.

Parameter

Der Begriff Parameter kommt mit unterschiedlichen Bedeutungen vor. 1. Zur Darstellung einer Funktionenschar. Funktionen , die von gleicher Bauart sind und sich nur in der Konstanten t unterscheiden. Beispiel:  ist für jede reelle Zahl t eine quadratische Funktion. Die Graphen sind Parabeln, die längs der y-Achse verschoben sind. 2. In der analytischen Geometrie als -> […]

Parameterdarstellung

Darstellung einer Geraden in der Form , mit dem Ortsvektor , dem Richtungsvektor  und dem reellen Parameter b, der alle reellen Zahlen durchläuft. Darstellung einer Ebene in der Form  mit dem Ortsvektor , den beiden Richtungsvektoren der Ebene  und  und den beiden reellen Parametern b und d.

Partialbruchzerlegung

Hat die quadratische Gleichung x² + ax + b = 0 zwei verschiedene Lösungen und , so lässt sich der Bruchterm zerlegen in mit Konstanten A und B, die man durch ->Koeffizientenvergleich bestimmen kann. Beispiel: Da x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5) gilt, kannst du  ansetzen. Bringst du die Bruchterme […]

Partialsumme

Gegeben sei eine Folge . Dann heißt die Zahl  die k-te Partialsumme der unendlichen Reihe . Die Reihe konvergiert (divergiert), falls die Folge  der Partialsummen konvergiert (divergiert).

Partielle Ableitung

siehe -> Partielle Differentiation

partielle Differentiation

Eine Funktion von zwei (oder mehreren) Variablen ist nach einer der Variablen partiell differenzierbar, wenn der Differentialquotient für diese Variable existiert, bei zwei Variablen etwa nach x an der Stelle , wenn  existiert. Dieser Grenzwert heißt partielle Ableitung von f nach x; man schreibt . Partielle Ableitungen werden nach denselben Regeln gebildet, wie die Ableitungen von […]

Pascal, Blaise

Name: Blaise Pascal Geboren: 1623 in Clermont-Ferrand (Frankreich) Gestorben: 1662 in Paris Lehr-/Forschungsgebiete: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Projektive Geometrie, Infinitesimalrechnung, Physik Blaise Pascal war ein französischer Mathematiker, Physiker, Literat und religiös inspirierter Philosoph, der im 17. Jahrhundert lebte. Er fand Gesetzmäßigkeiten für Druck und legte in einem Briefwechsel mit Pierre de Fermat die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Nach ihm […]

Pascalsches Dreieck

Das Pascalsche Dreieck ist eine besondere Anordnung der ->Binomialkoeffizienten. Man kann damit das Bildungsgesetz leicht überschauen.         1   1               1   2   1           1   3   3   1       1   4   6 […]

Passante

Eine Passante eines Kreises ist eine Gerade, die den Kreis nicht schneidet (sie passiert den Kreis).

Peano-Axiome

Die fünf Peano-Axiome sind eine axiomatische Beschreibung der natürlichen Zahlen: 1. 1 ist eine natürliche Zahl. 2. Jede natürliche Zahl a hat genau einen Nachfolger a′. 3. Es ist stets a′ ≠ 1. 4. Aus a′ = b′ folgt a = b. 5. Jede Menge von natürlichen Zahlen, die die Zahl 1 enthält und die […]

Pentagon

Das regelmäßige Fünfeck (griech. Pentagon) hat fünf gleich lange Seiten. Jeder Innenwinkel beträgt 72 Grad und die Fläche , , wenn a die Seitenlänge bezeichnet.

Pentagondodekaeder

Das Pentagondodekaeder ist ein Körper aus 12 regelmäßigen Fünfecken. Es gehört zu den -> platonischen Körpern. Volumen und Oberfläche des Pentagondodekaeders bei einer Kantenlänge a sind gegeben durch:  und 

Pentagramm

Die 5 Diagonalen des regelmäßigen Fünfecks mit Kantenlänge a bilden ein Sternfünfeck, das Pentagramm. Die Fläche eines Pentagramms lautet

Periode (Dezimalzahl)

Eine Periode ist die sich wiederholende Ziffernfolge in einer periodischen Dezimalzahl. Diese Ziffern werden meist durch einen Periodenstrich gekennzeichnet.

Periode (Funktionen)

Eine für alle reellen Zahlen definierte Funktion f heißt periodisch mit der Periode c, wenn f(x + c) = f(x) für alle  gilt. Die trigonometrischen Funktionen sin und cos haben die Periode ; tan und cot haben die Periode .

Periodenlänge

Die Anzahl der Ziffern unter dem Periodenstrich einer periodischen Dezimalzahl wird Periodenlänge genannt.

periodische Dezimalzahlen

Bei einer periodischen Dezimalzahl wiederholen sich eine oder mehrere Ziffern. Diese Wiederholung setzt sich bis ins Unendliche fort. Beispiel:

Permutation

Eine bijektive -> Abbildung einer endlichen Menge in sich ist eine Permutation. Enthält die Menge n Elemente, so gibt es genau n! = 1 ∙ 2 ∙…∙ n Permutationen – die Elemente lassen sich auf n! Weisen umsortieren. (-> Fakultät) Beispiel: Die drei Eelmente (a, b, c) lassen 3! = 6 Permutationen zu: (a, b, […]

perspektivische Abbildung

Eine Abbildung, die von einem Projektionszentrum aus eine ebene Figur entsprechend vergrößert (oder auch verkleinert) heißt perspektivische Projektion. Handelt es sich um parallele Strahlen, so ist es eine identische Abbildung.

Peta (Vorsilbe)

Peta entspricht dem Billiarden-fachen einer Einheit:

Pfeil

Ein Pfeil über einer Variablen bezeichnet einen Vektor.

Pfennig

Alte Währungseinheit in Deutschland; sie galt bis zum 31. Dezember 2001: 1 Deutsche Mark = 100 Pfennig

Pfund

Eine Gewichtseinheit: 1 Pfund = 500 g =  kg.

Pi

pi = = 3,1416… ist eine irrationale Zahl, die das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser angibt.

Pico (Vorsilbe)

Pico entspricht einem Billionstel einer Einheit: 1 Pico-Gramm = 1 Billionstel Gramm =  Gramm

Pint (Volumeneinheit)

Pint ist ein Hohlmaß, meist für Flüssigkeiten. In England ist 1 Imp. Pint = 568,26128524935 cm³ (ml), also etwas mehr als  Liter, in den USA ist 1 liq. pt = 473,176473 cm³, also weniger als  Liter.

Platonische Körper

Es gibt fünf platonische Körper: Tetraeder (4 gleichseitige Dreiecke), Hexaeder (6 gleichseitige Vierecke), Oktaeder (8 gleichseitige Dreiecke), Dodekaeder (12 regelmäßige Fünfecke) und Ikosaeder (20 gleichseitige Dreiecke).

Platzhalter

siehe -> Variable. Dieser Begriff wird vor allem in der Grundschule benutzt.

Plus

Das „+“ hat zwei Bedeutungen, zum einen als Operationszeichen: 3 + 7, zum anderen als Vorzeichen: +3.

Plusminus

Das Symbol „“ wird benutzt, um zwei Lösungmöglichkeiten zu signalisieren. Bei der Lösung der quadratischen Gleichung x²+px+q=0 ergeben sich die beiden Lösungen

Poincaré, Henri

Name: Henri Poincaré Geboren: 1854 in Nancy (Frankreich) Gestorben: 1912 in Paris Lehr-/Forschungsgebiete: Theorie analytischer Funktionen, algebraische Topologie, Zahlentheorie, Theorie der automorphen Funktionen, algebraische Geometrie, Physik, Astronomie Henri Poincaré war ein französischer Mathematiker, Physiker, Ingenieur und Wissenschaftstheoretiker, der von 1854 bis 1912 lebte. Er leistete wichtige Beiträge auf fast allen Gebieten der damaligen Mathematik, Physik […]

Polyeder

Ein von ebenen Flächen begrenzter Körper.

Polygon

Polygon ist ein anderer Ausdruck für -> Vieleck.

Polynom

Ein Polynom ist ein Term der Form .

Polynomialverteilung

Die Polynomialverteilung stellt eine Verallgemeinerung der Binomialverteilung dar. Es gilt:  sind voneinander unabhängige positive Ereignisse von S mit: 1. 2. mit und Bei n Versuchen sollen die Zufallsvariablen die Trefferzahlen für die Ereignisse angeben. Für bis gilt: und . Für s=2 erhält man mit und die -> Binomialverteilung.

positive Zahl

Eine positive Zahl ist eine Zahl, die größer als null ist. Sie trägt ein „+“ als Vorzeichen. Dieses Vorzeichen wird üblicherweise weggelassen. Auf der Zahlengeraden liegen die positiven Zahlen rechts von der Null.

Potenz

Statt schreibt man a³. Es gilt , falls links n-mal der Faktor a steht.

Potenzfunktion

Potenzfunktionen sind vom Typ , a, n reelle Zahlen. Für n=0 erhält man die konstante Funktion: f(x)=a. Für n= erhält man die Wurzelfunktion: . Alle Potenzfunktionen sind differenzierbar und es gilt: für alle .

Potenzmenge

Die Potenzmenge P(M) einer Menge M ist die Menge aller ihrer Teilmengen. Bei endlichen Mengen mit n Elementen hat P(M)  Elemente.

Potenzrechenregeln

Für rationale Zahlen a und b mit b ≠ 0 und natürliche Zahlen n und m gilt: und Man setzt und .

Pound (Gewichtseinheit)

1 pound= 453.59237 Gramm. Die Gewichtseinheit pound wird im englisch-sprachigen Raum benutzt.

Prädikatenlogik

Gegenüber der Aussagenlogik besitzt die Prädikatenlogik in der 1. Stufe zusätzliche Ausdrucksmittel wie die -> Quantoren.

Primfaktoren

Du kannst eine natürliche Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen (Primfaktorzerlegung), d.h. als Produkt von Primzahlen schreiben.

Primfaktorzerlegung

Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer natürlichen Zahl als Produkt ihrer Primfaktoren. Werden gleiche Faktoren zu Potenzen zusammengefasst und die Potenzen nach aufsteigender Größe der Basis geordnet, so ist die Primfaktorzerlegung eindeutig.

Primzahl

Eine natürliche Zahl größer gleich 2 nennt man ein Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Primzahlen sind natürliche Zahlen, deren Teilermenge aus genau zwei Zahlen besteht. Beispiele: 2, 3, 5, 7, 11,… sind Primzahlen 4 und 6 sind keine Primzahlen

Primzahlübersicht

Die ersten 15 Primzahlen sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Primzahlzwillinge

Primzahlzwillinge sind zwei Primzahlen mit der Differenz 2. Beispiele: 5 und 7; 11 und 13; 17 und 19; 29 und 31; 41 und 43. Es ist bis heute nicht bekannt, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.

Prisma (allgemein)

Prisma ist ein Körper, der durch Parallelverschiebung eines Vielecks einer Ebene (oder allgemeiner einer durch eine geschlossene Kurve begrenzte Fläche) entlang einer Geraden entsteht. Es heißt gerade, wenn die Gerade senkrecht auf der Ebene steht. , mit der Seitenlänge a des Dreiecks.

Prisma (dreiseitig)

Ein dreiseitiges Prisma hat als Grundfläche ein Dreieck.

Prisma (quadratisch)

Ein quadratisches Prisma hat ein Quadrat als Grundfläche. Man nennt es auch Quader. Ein Würfel ist ebenfalls ein quadratisches Prisma.

Prisma (sechsseitig)

Das regelmäßige sechsseitige Prisma hat ein regelmäßiges Sechseck als Grundfläche. Das Volumen des sechsseitigen Primas beträgt mit der Sechseckkantenlänge a.

Probe

Unter einer Probe versteht man das Einsetzen der errechneten Werte in die Ausgangsgleichungen, um das berechnete Ergebnis zu überprüfen. Hast du keinen Rechenfehler gemacht, so ergibt sich eine wahre Aussage. Dies ist in aller Regel der Nachweis, dass du richtig gerechnet hast.

Produkt

Das Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikationsaufgabe.

Produktintegration

Produktintegration oder partielle Integration besteht in der Anwendung der Produktregel der Differentialrechnung, um das Integral eines Produkts von zwei Funktionen zu bestimmen. Beispiel: Zur Integration von  setzt man  und g(x) = x. Dann gilt:

Produktmenge zweier Mengen

Die Produktmenge zweier Mengen A und B ist die Menge aller geordneten Paare (a,b) mit :

Produktregel

Die Produktregel des Differenzierens lautet: Beispiel: Sei  mit f(x) = x³ + 2x und g(x) = x², dann ist

Promille

1 Promille =

proportional

Zwei Größen a und b sind proportional wenn die eine Vielfaches der anderen ist: . Hier ist k der Proportionalitätsfaktor.

Prozent

Prozentangaben werden durch das Symbol % dargestellt. Prozent bedeutet „von Hundert“. 1 % ist 1 von 100 oder .

Prozentrechnung

Es gibt drei Grundaufgaben der Prozentrechnung: Gesucht wir der Prozentwert, der Grundwert oder der Prozentsatz: grundsätzlich gilt: 1. Gesucht W: 1000 Euro mit 5% verzinst erbringt nach einem Jahr: . Nach einem Jahr hat sich das Geld um 50 Euro auf 1050 vermehrt. 2. Gesucht p: Der Gebrauchtwagenhändler kauft ein Auto für 10400 Euro; nach […]

Prozentsatz

Bei einer Verzinsung von 5% ist 5 der Prozentsatz.

Prozentwert

Prozentwert gibt den absoluten Wert an, den der Prozentsatz vom Grundwert ausmacht. 5% (Prozentsatz) von 500 Euro (Grundwert) sind 25 Euro (Prozentwert).

Punkt- vor Strichrechnung

„Punkt- vor Strichrechnung“ bedeutet, dass in einer Rechnung, in der keine Klammern enthalten sind, stets als erstes die Multiplikation oder Division durchzuführen ist, danach erst die Addition oder Subtraktion.

Punktspiegelung

Die Punktspiegelung am Punkt Z spiegelt den Punkt P in den Punkt P‘ so, dass P und P‘ auf einer Geraden durch Z liegen und den gleichen Abstand zu Z haben: . Die Punktspiegelung ist strecken- und geradentreu.

punktsymmetrisch

Eine Funktion ist punktsymmetrisch bzgl. eines Punkts P, wenn der Graph durch eine -> Punktspiegelung an P in sich überführt wird.

Pyramide (dreiseitig)

-> Tetraeder, einer der -> platonischer Körper.

Pyramidenstumpf

Ein Pyramidenstumpf entsteht durch Abschneiden eines oberen Teils entlang einer Ebene parallel zur Grundfläche.

Pyramidenstumpf – quadratisch

Der quadratische Pyramidenstumpf hat die Oberfläche  und Volumen  mit den beiden Kantenlängen  und  sowie der Kegelstumpfhöhe h. Die Oberfläche eines quadratischen Kegelstumpfes wird aus den beiden Quadraten und den 4 Trapezen berechnet:  

Pyramidenstumpf-dreiseitig

Ein dreiseitiger regelmäßiger Pyramidenstumpf (der Kantenlänge a) heißt auch Friauf-Polyeder. Oberfläche und Volumen werden wie folgt berechnet ; das Volumen

Pythagoras (Satz des)

Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypothenuse, also im angegebenen Beispiel a²+b²=c²:

Pythagoras von Samos

Name: Pythagoras von Samos Geboren: um 570 v. Chr. auf der Insel Samos (Griechenland) Gestorben: um 500 v. Chr. in Metaponto (heutiges Italien) Lehr-/Forschungsgebiete: Geometrie, Astronomie, ZahlentheoriePythagoras war ein antiker griechischer Philosoph, Mathematiker und Gründer einer einflussreichen religiös-philosophischen Bewegung, der so genannten Schule der Pythagoreer. In der Mathematik verbindet sich sein Name in erster Linie […]