Analytische Geometrie

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Die analytische Geometrie wurde um 1630 von Pierre de Fermat und René Descartes begründet. Sie erlaubt es geometrische Fragen mit algebraischen Mitteln zu behandeln und zu beantworten. Mit Hilfe eines zwei- oder drei-dimensionalen Koordinatensystems werden geometrische Objekte (Punkte, Geraden, Flächen, Körper) und deren Beziehungen untereinander in algebraische Ausdrücke der zugehörigen (Koordinaten-)Werte übersetzt, die dann umgeformt werden können. Die Ergebnisse können schließlich wieder in die geometrische Sprache zurückübersetzt werden. Hierzu gehört vor allem die Diskussion ebener Kurven.

Mitte des 19. Jahrhunderts entstand er Begriff des Vektors, eine geometrische Größe, die eine Länge und eine Richtung besitzt. Die Darstellung von Vektoren als Koordinatenpaare oder -tripel (des zwei- bzw. dreidimensionalen Raums oder allgemeiner als \(\vec{a}\) = (a1 ,a2,…,an)\(\in\) n) ermöglichte es, unabhängig von jeglicher geometrischer Anschauung mit diesen Größen zu operieren. Anstatt von analytischer Geometrie spricht man daher heute oft von linearer Algebra.

Vektoren können addiert und mit reellen Zahlen multipliziert werden bzw. miteinander multipliziert werden (Skalarprodukt, Vektorprodukt). Mit Vektoren können im zwei- oder dreidimensionalen Raum Aufgaben zu geometrischen Problemen (z.B. Schnitte von Geraden und Ebenen) mit algebraischen Mitteln gelöst werden (Lösung linearer Gleichungssysteme).

Dies führte wie im Fall der Gruppen, Ringe und Körper zu einer axiomatisch begründeten algebraischen Struktur, dem Vektorraum. Ein Vektorraum V ist eine kommutative Gruppe, auf deren Elemente zusätzlich die Elemente eines Körpers K, die Skalaren, wirken. Die innere Verknüpfung der Gruppe wird als Addition aufgefasst ,die äußere Verknüpfung als skalare Multiplikation ∙: K x V -> V. Neben den Axiomen für eine kommutative Gruppe gelten für diese skalare Multiplikation, bei der das Multiplikationszeichen meist weggelassen wird, die folgenden Bedingungen (a, b \(\in\) K und u, v \(\in\) V):

1. (ab)v = a(bv) (die Skalarmultiplikation ist assoziativ)
2. (a + b)v = av + bv (die Skalarmultiplikation ist distributiv bzgl. der Körperaddition)
3. a(u + v) = au + av (die Skalarmultiplikation ist distributiv bzgl. der Vektoraddition
4. 1v = v (wobei 1 das Einselement des Körpers K ist).

Insbesondere bilden die Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems einen Vektorraum. Um 1900 wurde erkannt, dass sich auch Lösungen linearer Gleichungssysteme mit unendlich vielen Variablen sowie Lösungen von linearen Differenzial- bzw. Integralgleichungen auf diese Weise beschreiben lassen (->Funktionalanalysis).