Funktionentheorie

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Die Funktionentheorie befasst sich mit Funktionen komplexer Variablen, die im komplexen Sinn differenzierbar, man sagt holomorph, sind. Die Funktionentheorie wird auch als komplexe Analysis bezeichnet.

Dabei heißt eine auf einer offenen Menge \(G \subset \mathbb{C}\) definierte komplexwertige Funktion f differenzierbar (oder holomorph) in einem Punkt \(z_0 \in G\), wenn der Grenzwert

\(f’(z_o)=\lim_{z \to z_0, z\neq z_0 } \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\)

existiert.

Eine komplexe Funktion f lässt sich auch als Funktion auf \(\mathbb{R}^2\) auffassen, indem man das Argument z und den Funktionswert f(z) in Real- und Imaginärteil zerlegt:

\(z = x + iy \to f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y)\).

Dadurch werden zwei unterschiedliche Begriffe der Differenzierbarkeit festgelegt: die komplexe Differenzierbarkeit und die reelle zweidimensionale Differenzierbarkeit. Für eine holomorphe Funktion f sind auch der Realteil u und der Imaginärteil v reell differenzierbar. Die Umkehrung gilt jedoch nicht, u und v müssen dazu den Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen genügen:

\(\partial_ x u(x,y) = \partial_y v(x,y)\) und \(\partial_ y u(x,y) = -\partial_ x v(x,y)\).

Dabei bezeichnet \(\partial_ x\) bzw. \(\partial_ y\) die Ableitung nach x bzw. y, wobei die jeweils andere Variable fest bleibt.

Viele Funktionen der reellen Analysis sind durch Potenzreihen gegeben, die auch dann noch konvergieren, wenn man komplexe statt reeller Zahlen einsetzt. Während es im Reellen beliebig oft differenzierbare Funktionen gibt, die keine Darstellung als Potenzreihe erlauben, gibt es in der komplexen Analysis einen engen Zusammenhang: jede holomorphe Funktion kann als Potenzreihe geschrieben werden – zumindest in einer Umgebung des betrachteten Punkts.

Viele der in der Schule betrachteten Funktionen können ins Komplexe fortgesetzt werden. Erst dadurch werden Eigenschaften sichtbar, die bei den reellen Funktionen verborgen bleiben. Zum Beispiel wird durch \(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\) eine Funktion auf \(\mathbb{R}\) definiert, die für -1 < x < 1 eine Darstellung als Potenzreihe besitzt. Für |x| > 1 ist die Potenzreihe aber divergent. Den Grund erkennt man, wenn man die Funktion in \(\mathbb{C}\) betrachtet. Diese ist für z = i und z = -i nicht definiert, sie besitzt dort jeweils einen Pol. Die Punkte |z| = 1 bilden also eine unüberwindbare Hürde für die Konvergenz der Potenzreihe.

Während \(|f(x)| \leq 1\) für alle \(x\in \mathbb{R}\) gilt, ist |f(z)| nicht beschränkt. Nach einem Satz von Liouville ist der Betrag einer auf ganz \(\mathbb{C}\) definierten und holomorphen Funktion nicht beschränkt, es sei denn sie ist konstant. Damit kann man den Fundamentalsatz der Algebra (->Algebra) beweisen: Hätte ein Polynom P vom Grad größer gleich 1 keine Nullstellen in \(\mathbb{C}\), so wäre \(f(z)=\frac{1}{P(z)}\) für alle z definiert und holomorph. Da man ferner zeigen kann, dass f stets beschränkt ist, müsste f und damit auch P konstant sein, was für ein Polynom vom Grad \(\geq \) 1 aber nicht der Fall ist.
Ein weiteres Beispiel, das erst im Komplexen sichtbar wird, ist die Eulersche Identität. Zerlegt man die Potenzreihen der komplexen Exponentialfunktion in ihre Real- und Imaginärteile, so erhält man:

\(exp(x+iy) = e^{x+i \cdot y} = e^x(cos y + i\cdot sin y)\).

Speziell für \(x=0\) und \(y=\pi\) gilt also die Identität

\(e^{i\pi}=-1\),

die die wichtigsten Konstanten der Analysis in sich vereinigt.
Die Funktionentheorie hat wichtige Anwendungen in der Theoretischen Physik (Quantenmechanik, Darstellung von Wellenfunktionen), der Strömungsmechanik sowie in der Elektrotechnik (Zeigerdiagramm).