Kategorientheorie

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Die Kategorientheorie liefert einen abstrakten Rahmen für den Vergleich von mathematischen Strukturen. Beispielsweise bilden in der ->Topologie die topologischen Räume und die Menge der stetigen Abbildungen zwischen topologischen Räumen eine Kategorie. Man nennt die topologischen Räume die Objekte der Kategorie und für je zwei topologische Räume X und Y die Menge der stetigen Abbildungen \(f: X \rightarrow Y \)die Menge der zugehörigen Morphismen Mor(X, Y). Eine Unterkategorie davon besteht aus den Objekten \((X, x_0)\), wobei X ein nichtleerer topologischer Raum und \(x_0 \in X\) ein fester Punkt ist. Die Morphismen sind jetzt die stetigen Abbildungen, die den jeweiligen Punkt fest lassen,

\(f: X \rightarrow Y \text{ mit } f(x_0) = y_0.\)

In der Algebra bilden die Gruppen (->Gruppentheorie) zusammen mit den Gruppenhomomorphismen ebenfalls eine Kategorie. Die Gruppen sind wieder die Objekte und die Gruppenhomomorphismen \(\phi : G \rightarrow H\), d. h. die Abbildungen \(\phi : G \rightarrow H\), die

\(\phi(g_1\circ g_2) =\phi(g_1) \circ \phi(g_2)\) für alle \(g_1, g_2 \in G\)

erfüllen, bilden die Menge der Morphismen Mor(G, H).

In der algebraischen Topologie wird eine Zuordnung zwischen diesen beiden Kategorien betrachtet. Jedem topologischen Raum mit ausgezeichnetem Punkt \((X, x_0)\) wird eine Homotopiegruppe \(\pi_1(X, x_0)\) zugeordnet

und jedem Morphismus \(f: (X, x_0) \rightarrow (Y, y_0)\)
ein Gruppenhomomorphismus \(\pi_1(f): \pi_1(X, x_0) \rightarrow \pi_1(Y, y_0)\).

Eine solche Zuordnung nennt man einen Funktor, in Fall von \(\pi_1\) genauer einen kovarianten Funktor, denn es gilt

\(\pi_1(f) \circ \pi_1(g) = \pi_1(f \circ g)\)

für zwei stetige Abbildungen

\(f: (Y, y_0)\rightarrow(Z, z_0)\) und \(g: (X, x_0) \rightarrow (Y, y_0)\).

Funktoren erlauben es, strukturerhaltende Eigenschaften von einer Kategorie in eine andere zu übertragen, in der sich die Eigenschaften leichter untersuchen lassen. Man kann dann oft Rückschlüsse ziehen auf die Eigenschaften in der ursprünglichen Kategorie.

Will man beispielsweise entscheiden, ob zwei topologische Räume X und Y hömoomorph sind, so betrachtet man die zugehörigen Morphismen \(Mor(\pi_1(X, x_0), \pi_1(Y, y_0)\) in der Kategorie der Gruppen. Enthält diese keinen Gruppenhomomorphismus, so kann es auch keinen Homöomorphismus geben.