Mengenlehre

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Die Mengenlehre wurde von Georg Cantor in den achtziger Jahren des 19. Jahrhunderts entwickelt. Sie ist heute die Sprache der Mathematik, denn fast alle mathematischen Aussagen werden mit Hilfe von Mengen, Abbildungen und Relationen ausgedrückt.

Cantor schrieb 1895: „Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen.“

Auch wenn diese Definition, wie sich später herausstellte, nicht für eine formale Begründung ausreicht, kann sie immer noch als anschauliche Grundlage dienen. Es kann hier nicht ausführlich auf die Bedeutung der Mengenlehre als axiomatische Grundlage der Mathematik eingegangen werden. Nur die einfachsten Grundbegriffe werden vorgestellt. Hierzu gehören:

1. „A ist Teilmenge von B (in Zeichen \(A \subset B\)), wenn jedes Element von A auch Element von B ist (formal: aus \(a\in A\) folgt \(a\in B\))“ – diese kann eine echte Teilmenge sein oder gleich der ganzen Menge.

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2. Es gibt eine leere Menge \(\{ \}\) oder Ø, die kein Element besitzt. Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.

3. Zu je zwei Mengen A und B gibt es die Schnittmenge (oder den Durchschnitt) \(A \cap B\).
Dazu gehören alle diejenigen Elemente, die sowohl zu der Menge A als zu der Menge B gehören

(\(A \cap B= \left \{\: x \:|\:x \in A \text { und } x \in B \right\}\)).

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4. Zu je zwei Mengen A und B gibt es die Vereinigungsmenge \(A \cup B\).
Zu ihr gehören alle diejenigen Elemente, die zu A oder zu B gehören

\((A \cup B= \left \{ \:x \:|\:x \in A \text{ oder } x \in B \right\} ).\)

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5. Zum Komplement \(A^c\) (oder \(\overline A\)) der Menge A in Bezug auf eine A enthaltende Grundmenge G gehören alle Elemente von G, die nicht in A liegen \((A^c = \left\{\:x \in G\:|\:x \notin A\right\}).\)

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6. Zur Differenzmenge AB zweier Mengen A gehören alle diejenigen Elemente,
die Element von A und nicht von B sind \((A\B = \left\{\:x \in A\:|\:x \notin B\: \right\}).\)

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7. Zu einer gegebenen Menge A gibt es die Potenzmenge P(A). Ihre Elemente sind die Teilmengen von A, insbesondere sind die leere Menge Ø und die Menge A selbst Elemente von P(A).

Die Relation \(\subset \), die zwischen den Teilmengen einer Grundmenge G besteht, besitzt die folgenden Eigenschaften, die die Potenzmenge P(G) mit einer Ordnungsstruktur versieht:

  • Reflexivität (A ist enthalten in \(A, A\subset A\)),
  • Antisymmetrie (aus \(A \subset B\) und \(B \subset A\) folgt A = B),
  • Transitivität (aus \(A \subset B\) und \(B \subset C\) folgt \(A \subseteq C\)).

Die Mengenverknüpfungen \(\cup\) “ und „ \(\cap\) “ sind zueinander dual. Man kann zu einer neuen Aussage gelangen, indem man jeweils die Symbole „ \(\cap\) “ und „ \(\cup\) “ vertauscht. Es gelten die folgenden Gesetze, die die Potenzmenge P(G) zu einer Boolschen Algebra macht:

Gesetz

"\(\cap\)"

"\(\cup\)"

Kommutativ

\(A\cap B=B\cap A\)

\(A\cup B=B\cup A\)

Assoziativ

\((A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)\)

\(A\cup (B\cup C) = (A\cup B)\cup C\)

Distributiv

\(A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\)

\(A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)\)

De Morgan

\((A\cap B)^C=A^C\cup B^C\)

\((A\cup B)^C=A^C\cap B^C\)

Man unterscheidet zwischen endlichen Mengen und unendlichen Mengen: A = {1, 2, 3, 1} ist mit drei Elementen eine endliche Menge – die ‚doppelte‘ Eins wird nur einmal gezählt, da man die beiden Exemplare nicht unterscheiden kann – und \(\mathbb{N}= \left\{1,2,3,… \right\},\) die Menge der natürlichen Zahlen

oder \(\mathbb{Q}= \left\{ \frac{x}{y} \: | \text{ mit } x \in \mathbb{Z} \text{ und } y \in \mathbb{N} \right\}\),

die Menge aller rationalen Zahlen, sind unendliche Mengen. Die unendlichen Mengen hat Cantor noch weiter unterschieden, indem er den Begriff der Mächtigkeit einer Menge einführte. Darunter verstand er bei endlichen Mengen die Anzahl der Elemente. Zwei unendliche Mengen sind gleichmächtig (äquivalent), wenn es eine umkehrbar eindeutige Abbildung von der einen Menge in die andere gibt. Er bewies, dass die Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtig zur Menge der ganzen Zahlen und zur Menge der rationalen Zahlen ist und benannte diese Mächtigkeit mit dem hebräischen Buchstaben \(\aleph_0\) (aleph). Er bewies außerdem, dass die Menge der reellen Zahlen nicht gleichmächtig zu diesen ist. Da sie diese Mengen als Teilmengen enthält, ist sie also größer. Ihre Mächtigkeit wird mit c bezeichnen. Die Mächtigkeit einer endlichen Menge ist die Anzahl ihrer Elemente. Besitzt die Menge A n Elemente, so besitzt ihre Potenzmenge P(A) \(2^n\) Elemente. Cantor hat gezeigt, dass \(\mathbb{R}\) und P(\(\mathbb{N}\)) gleichmächtig sind. Um wie viel c größer ist als \(\aleph_0\), ist eine bis heute ungeklärte Frage:

Bei der Kontinuumshypothese nimmt man an, dass es keine Menge gibt, deren Mächtigkeit größer als \(\aleph_0\) und kleiner c ist. Diese Hypothese ist unabhängig von dem heute allgemein akzeptierten Axiomensystem von Ernst Zermelo und Abraham Adolf Fraenkel, denn sie lässt sich darin weder beweisen (Kurt Gödel 1938) noch widerlegen (Paul Cohen 1963).