Ebene Figuren

Interaktive Mathebücher zum Üben & Testen

Die interaktiven Mathebücher von bettermaks gibt es für die Klassenstufen 4 bis 10. bettermarks bietet über 100.000 Aufgaben mit ausführlichen Erklärungen und Lösungswegen.

Kostenlos registrieren Einloggen

Allgemeines Dreieck
Für den Umfang \($U$\) eines allgemeinen Dreiecks mit den Seitenlängen \($a$\), \($b$\) und \($c$\) gilt

\($U = a + b + c$\)

Für den Flächeninhalt \($A$\) eines allgemeinen Dreiecks mit einer Grundseite der Länge \($g$\) und mit der Höhe \($h$\) gilt

\($A = \frac{1}{2}~g\cdot h$\)

Speziell für die Seitenlängen \($a$\), \($b$\) und \($c$\) und den zugehörigen Höhen \($h_a$\), \($h_b$\) bzw. \($h_c$\) gilt

\($A = \frac{1}{2}~a\cdot h_a= \frac{1}{2}~b\cdot h_b= \frac{1}{2}~c\cdot h_c$\)

Mit \($s =\frac{U}{2}$\) gilt

\($A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\quad\mbox{(Formel von Heron)}$\)

dreieck allgemein Ebene Figuren

Für die Summe \($S$\) der Innenwinkel \($\alpha$\), \($\beta$\) und \($\gamma$\) eines allgemeinen Dreiecks gilt

\($S =\alpha+\beta+\gamma = 180^\circ$\)

Rechtwinkliges Dreieck
Im rechtwinkligen Dreieck mit den Seitenlängen \($a$\), \($b$\) und \($c$\) und dem rechten Winkel \($\gamma = 90^\circ$\) bei \($C$\) sowie der Höhe \($h = h_c$\) und den Längen \($p$\) und \($q$\) der Kathetenabschnitte gilt

\($A =\frac{1}{2}~a\cdot b$\)

\($a^2 + b^2 = c^2\quad\mbox{(Satz des Pythagoras)}$\)

\($h^2 = pq\quad\mbox{(H”ohensatz)}$\)

\(a^2 = pc~\mbox{und}~ b^2 = bc\quad\mbox{(Kathetensatz)}\)

dreieck rechtwinklig Ebene Figuren

Gleichschenkliges Dreieck
Im gleichschenkligen Dreieck mit der Basis der Länge \($c$\) und den gleich langen Schenkeln \($a$\) und \($b$\) gilt

\($h = h_c = \sqrt{a^2-\frac{1}{4}~c^2}$\)

\($U = 2a + c$\)

\($A = \frac{1}{2}~c\cdot h_c$\)

Die Basiswinkel \($\alpha$\) und \($\beta$\) sind gleich, also

\($S = 2\alpha + \gamma = 180^\circ$\)

dreieck gleichschenklig Ebene Figuren

Gleichseitiges Dreieck
Im gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge \($a$\) sind alle drei Winkel gleich, also

\($U = 3a$\)

\($S = 3\alpha = 180^\circ$\)

\($h = h_a = \frac{a}{2}\sqrt{3}$\)

\($A = \frac{a^2}{4}\sqrt{3}$\)

dreieck gleichseitig Ebene Figuren

Allgemeines Viereck
Im allgemeinen Viereck mit den Seitenlängen \($a$\), \($b$\), \($c$\) und \($d$\) und den Winkeln \($\alpha$\), \($\beta$\), \($\gamma$\) und \($\delta$\) gilt für den Umfang \($U$\) und die Summe \($S$\) der Innenwinkel

\($U = a + b + c + d$\)

\($S =\alpha+\beta+\gamma+\delta = 360^\circ$\)

vieleck Ebene Figuren

Trapez
Im Trapez mit den zueinander parallelen Seiten mit den Längen \($a$\) und \($c$\) und der Mittellinie mit der Länge

\($m = \frac{1}{2}(a+c)$\)

gilt für den Flächeninhalt \($A$\) die Formel

\($A=\frac{1}{2}(a+c)\cdot h = m\cdot h$\)

Die Winkel \($\alpha$\) und \($\delta$\) bzw. \($\beta$\) und \($\gamma$\) ergänzen sich zu \($180^\circ$\)

\($\alpha+\delta = 180^\circ = \beta+\gamma$\)

trapez Ebene Figuren

Parallelogramm
Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen und gegenüber liegende Seiten sind gleich lang

\($a = c\quad\mbox{und}\quad b = d$\)

Für den Umfang \($U$\) eines Parallelogramms gilt

\($U =2(a+b)$\)

und für den Flächeninhalt \($A$\) gilt

\($A = a\cdot h_a = b \cdot h_b$\)

Einander gegenüber liegende Winkel sind gleich und benachbarte Winkel ergänzen sich zu \($180^\circ$\)

\($\alpha = \gamma,~ \beta = \delta,~ \alpha+\beta = 180^\circ = \alpha+\delta$\)

parallelogramm Ebene Figuren

Raute
In einer Raute (auch Rhombus) halbieren sich die Diagonalen und stehen senkrecht aufeinander; es sind Symmetrieachsen. Alle Seiten sind gleich lang. Für den Umfang \($U$\) einer Raute mit der Seitenlänge \($a$\) gilt

\($U =4a$\)

Und mit den Längen \($e$\) und \($f$\) der Diagonalen gilt für den Flächeninhalt

\($A = a\cdot h_a = \frac{1}{2}~e\cdot f$\)

Einander gegenüber liegende Winkel sind gleich und benachbarte Winkel ergänzen sich zu \($180^\circ$\)

\($\alpha = \gamma,~ \beta = \delta,~ \alpha+\beta = 180^\circ$\)

raute Ebene Figuren

Drachenviereck
In einem Drachenviereck ist eine der Diagonalen (hier \($f$\)) Symmetrieachse und halbiert die andere Diagonale. Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander. Liegen die Seiten mit den Längen \($a$\) und \($d$\) auf der gleichen Seite der Symmetrieachse, so gilt \($\alpha= \gamma$\). Für den Umfang \($U$\) eines Drachenvierecks gilt

\($U = 2(a+d)$\)

Für den Flächeninhalt \($A$\) gilt mit den Längen \($e$\) und \($f$\) der Diagonalen

\($A =\frac{1}{2}~e\cdot f$\)

drachen Ebene Figuren

Rechteck
Ein Rechteck besitzt vier rechte Winkel und je zwei gegenüber liegende Seiten sind gleich lang. Für den Umfang \($U$\) eines Rechtecks der Länge \($a$\) und der Breite \($b$\) gilt

\($U = 2(a+b)$\)

und für den Flächeninhalt \($A$\) gilt

\($A = a\cdot b$\)

Die beiden Diagonalen halbieren einander und sind gleich lang. Es gilt

\($e = \sqrt{a^2+b^2}$\)

rechteck Ebene Figuren

Quadrat
Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang und alle vier Winkel sind rechte Winkel. Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich gegenseitig. Für den Umfang \($U$\) des Quadrats mit der Seitenlänge \($a$\) gilt

\($U=4a$\)

und für den Flächeninhalt \($A$\) gilt

\($A = a^2 = \frac{1}{2}~e^2$\)

quadrat Ebene Figuren

Regelmäßiges Vieleck
Ein regelmäßiges \($n$\)-Eck mit der Seitenlänge \($a_n$\) hat den Umfang

\($U_n = n\cdot a_n$\)

Für die Summe \($S$\) der Innenwinkel gilt

\($S = (n-2)\cdot 180^\circ$\)

Ist \($r_u$\) der Radius des Umkreises und \($r_i$\) der des Inkreises, so gilt für den Flächeninhalt \($A_n$\) die Formel

\($A_n = \frac{n}{2}~a_n\cdot r_i = n\cdot a_n\sqrt{r_u^2-\frac{a_n^2}{4}}$\)
 

n eck Ebene Figuren

Kreis
Im Kreis vom Radius \($r$\) bzw. vom Durchmesser \($d = 2r$\) ist der Umfang \($U$\) gegeben durch

\($U = 2\pi r = \pi d$\)

Die Länge \($b_\alpha$\) des Kreisbogens zum Mittelpunktswinkel \($\alpha$\) ist gegeben durch

\($b_\alpha = \pi r~\frac{\alpha}{180^\circ}$\)

Der Flächeninhalt \($A$\) ist gegeben durch

\($A = \pi r^2 = \frac{1}{4}\pi d^2$\)

und der des Kreisauschnitts \($A_\alpha$\) (auch Sektor) zum Mittelpunktswinkel \($\alpha$\) durch

\($A_\alpha = \pi r^2 \frac{\alpha}{360^\circ}$\)
 

kreis Ebene Figuren

Kreisring
Ein Kreisring mit dem inneren Radius \($r_i$\) und dem äußeren Radius \($r_a$\) besitzt den Flächeninhalt

\($A = \pi~(r_a^2 – r_i^2)$\)

kreisring2 Ebene Figuren

Abstand von Punkten im Koordinatensystem
Im ebenen Koordinatensystem wird die Ebene durch die beiden zueinander senkrechten Achsen (die horizontale \($x$\)-Achse und die vertikale \($y$\)-Achse) in vier Quadranten zerlegt.

koordinatensystem Ebene Figuren
koordinaten Ebene Figuren

Ein Punkt \($P$\) wird durch seine \($x$\)-Koordinate \($x_P$\) und seine \($y$\)-Koordinate \($y_P$\) festgelegt: \($P(x_P|y_P)$\). Der Abstand \($d(P,Q)$\) zweier Punkte \($P$\) und \($Q$\) ist gegeben durch

\($d(P,Q) = \sqrt{(x_P-x_Q)^2 + (y_P-y_Q)^2}$\)