Funktionen und Gleichungen

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Lineare Funktionen und Gleichungen
Eine lineare Funktion \($f$\) wird durch die Funktionsgleichung

\($y = f(x) = m\cdot x + n$\)

definiert. Dabei ist \($m$\) die Steigung des Graphen. \($n$\) gibt den \($y$\)-Achsenabschnitt an, die Stelle, an der der Graph der Funktion die \($y$\)-Achse schneidet.
Sind \($P(x_p|y_P)$\) und \($Q(x_Q|y_Q)$\) zwei verschiedene Punkte auf dem Graphen, so gilt für die Steigung

\($m = \frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$\)

Im Fall \($m > 0$\) ist die Funktion monoton steigend, im Fall \($m<0$\) ist sie monoton fallend und im Fall \($m=0$\) ist sie konstant. Die Nullstelle \($x_0$\) einer nicht konstanten linearen Funktion \($f$\) ist Lösung der linearen Gleichung \($mx+n=0$\) und ist gegeben durch

\($x_0 = -\frac{n}{m}$\)

Lineare Gleichungssysteme
Eine Gerade ist gegeben durch eine Geradengleichung

\($ax+by = c$\)

mit \($a, b, c\in\mathbb{R}$\) und \($a \cdot b\ne 0$\).
Ist \($b\ne 0$\), so besitzt die Gerade die Normalform

\($y = mx + n \quad \mbox{mit }m = -\frac{a}{b} \mbox{ und } n = \frac{c}{b}$\)

Die Schnittpunkte zweier Geraden sind gegeben durch die Lösungen des linearen Gleichungssystems

\($a_1 x + b_1 y=c_1$\)

\($a_2 x + b_2y=c_2$\)

Wenn für die Determinante

\($D = a_1 b_2 – a_2 b_1 \ne 0$\)

gilt, besitzt das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung \($(x,y)$\) mit

\($x = \frac{1}{D}~(c_1 b_2 – c_2 b_1) \quad\mbox{und}\quad y =\frac{1}{D}~(a_1 c_2 – a_2 c_1)$\)

Die Geraden schneiden sich im Punkt \($P(x|y)$\).
Ist \($D=0$\) so besitzt das Gleichungsystem keine Lösung oder unendlich viele Lösungen, je nachdem ob die zugehörigen Geraden parallel sind oder identisch.

Quadratische Funktionen und Gleichungen
Eine quadratische Funktion \($f$\) wird durch die Funktionsgleichung

\($y = f(x) = a\cdot x^2 + bx + c$\)

definiert. Dabei sind \($a,b,c$\) konstante reelle Zahlen und \($a\ne0$\).
Der Graph ist eine Parabel mit der Öffnung nach oben, falls \($a>0$\), und nach unten, falls \($a<0$\). Der Scheitelpunkt \($S(x_S|y_S)$\) der Parabel hat die Koordinaten

\($x_S = -\frac{b}{2a}\quad\mbox{ und }\quad y_S = \frac{4ac-b^2}{2a}$\)

Eine quadratische Funktion \($f$\) liegt in Normalform vor, wenn

\($y = f(x) = x^2 + px + q$\)

mit konstanten reellen Zahlen \($p$\) und \($q$\). Der Scheitelpunkt \($S(x_S|y_S)$\) der zugehörigen Parabel hat die Koordinaten

\($x_S = -\frac{p}{2}\quad\mbox{ und }\quad y_S = -\frac{p^2}{4}+q$\)

Im Fall \($p=0$\) und \($q=0$\) erhält man die Normalparabel.

Eine quadratische Funktion \($f$\) liegt in Scheitelpunktform vor, wenn

\($y = f(x) = a(x-d)^2 + e$\)

mit konstanten reellen Zahlen \($a, d$\) und \($e$\), wobei \($a\ne 0$\). Die zugehörige Parabel besitzt dann den Scheitelpunkt \($S(d|e)$\).
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion \($f$\) sind die Lösungen der quadratischen Gleichungen \($y = f(x) = 0$\).
Die Anzahl der Lösungen hängt ab von der Diskriminante

\($D= \left(\frac{p}{2}\right)^2-q \quad \mbox{(Gleichung in Normalform } x^2 + px + q=0)$\)

\($D= b^2 – 4ac \quad\mbox{(Gleichung in allgemeiner Form } ax^2 + bx + c=0)$\)

Ist \($D<0$\), so gibt es keine Lösung, ist \($D=0$\), genau eine Lösung \($x = -\frac{p}{2}$\) bzw. \($x = -\frac{b}{2a}$\).

Im Fall \($D>0$\) gibt es zwei Lösungen \($x_1$\) und \($x_2$\).

\($x_{1,2} = -\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4} – q} \quad \mbox{({\it pq}-Formel) }$\)

\($x_{1,2} = -\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \quad\mbox{({\it abc}-Formel, Mitternachtsformel) }$\)

Winkelfunktionen (am Dreieck)
Für ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse der Länge \($c$\) und den Katheten der Längen \($a$\) bzw. \($b$\) werden für die Winkel \($\alpha$\) und \($\beta$\) die Winkelfunktionen (auch trigonometrische Funktionen) Sinus, Kosinus und Tangens als spezielle Verhältnisse der Seitenlängen definiert.

\($\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$\)

\($\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$\)

\($\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$\)

winkelformeln Funktionen und Gleichungen

Für die trigonometrischen Funktionen gelten die folgenden Beziehungen

\($\sin(\beta) = \sin(90^\circ-\alpha)= \cos(\alpha)$\)

\($\cos(\beta) = \cos(90^\circ-\alpha)= \sin(\alpha)$\)

\($\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\quad\mbox{ und}\quad \tan(\beta) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$\)

Für \($\frac{1}{\tan(\alpha)}$\) wird auch die Bezeichnung \($\cot(\alpha)$\) (Kotangens) verwendet. Aus dem Satz des Pythagoras folgt die Beziehung

\($\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$\)

Hier steht \($\sin^2(\alpha)$\) für \($(\sin(\alpha))^2$\). Für spezielle Winkel haben die trigonometrischen Funktionen einfache Werte

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