Potenzgesetze

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Für  \($a\in \mathbb{Q}$\) (oder \($\in \mathbb{R}$\)) und \($n\in \mathbb{N}$\) wird die \($n$\). Potenz von \($a$\) definiert als

\($\underbrace{a^n = a \cdot a \cdot \cdots \cdot a}_{n ~Faktoren}~, ~~ a^1 = a~, ~~a^0 = 1$\)

 Potenzgesetze
 

Potenzgesetze für Potenzen mit natürlichen und ganzzahligen Exponenten
Für \($a, b\in \mathbb{R}$\) und \($n, m\in \mathbb{Z}$\) gilt

\($a^n\cdot a^m = a^{n + m}$\)

\($a^n \cdot b^n = (a\cdot b)^n$\)

\($(a^n)^m = a^{nm}$\)

\($\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$\)

\($\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\quad\mbox{falls}~b\ne 0$\)

Beachte hierbei, dass im Fall negativer Exponenten die Basis \($\ne 0$\) sein muss.

Potenzgesetze für Potenzen mit rationalen Exponenten
Für \($k = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$\) (mit \($p \in \mathbb{Z}$\) und \($q \in \mathbb{N}$\) ) und \($a \in \mathbb{R}, a \ge 0$\) , gilt

\($a^{\frac{p}{q}} = (a^p)^{\frac{1}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$\)