Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme

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Hier erfährst du, wie du mit dem Additionsverfahren lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen kannst.

Lösen von linearen Gleichungssystemen

Du kannst zum Lösen von Gleichungssystemen mit zwei linearen Gleichungen das Additionsverfahren nutzen.
 
Die beiden Gleichungen kannst du jeweils im Waagemodell betrachten. Beide Waagen befinden sich im Gleichgewicht.
 
Wenn du die Inhalte der linken Seiten und die Inhalte der rechten Seiten gemeinsam auf die entsprechenden Seiten einer Waage legst, erhältst du wieder ein Gleichgewicht.
 
 
Die Summe der Terme der linken Seiten der Gleichungen ist also genauso groß wie die Summe der Terme der rechten Seiten der Gleichungen.
 
Ziel dieses Verfahrens ist, eine Gleichung zu erhalten, die nur noch eine Variable enthält.
 
Eine Variable fällt weg, wenn der Koeffizient einer Variablen in einer Gleichung die Gegenzahl des Koeffizienten derselben Variablen in der anderen Gleichung ist.
Die Koeffizienten sind Gegenzahlen
 
Löse folgendes Gleichungssystem in ℚ:
 
kem LGuU LGuUELGSAddv 1 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Gleichungen addieren
Achte darauf, dass die Variablen in den Gleichungen untereinander stehen.
 
Der Koeffizient von x in der ersten Gleichung (6) ist die Gegenzahl des Koeffizienten von x in der zweiten Gleichung (-6).
 
Um die Terme mit x zu eliminieren, brauchst du also nur die Gleichungen zu addieren.
Anzahl der Lösungen bestimmen
Du löst die Gleichung 9 y = 18 :
 
kem LGuU LGuUELGSAddv 2 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
 
Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung, da du für y einen eindeutigen Wert erhältst.
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem in ℚ?
 
kem LGuU LGuUELGSAddv 3 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Lösungen berechnen
Du hast y bereits im vorigen Schritt berechnet. Um x zu berechnen, setzt du y = -2 in eine der Ausgangsgleichungen ein:
 
kem LGuU LGuUELGSAddv 4 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
 
Du kannst dein Ergebnis anhand der zweiten Gleichung überprüfen. Ist die Lösung richtig, erhältst du hier das gleiche Ergebnis.
 
kem LGuU LGuUELGSAddv 5 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
y = 2 und x = 1 2
Lösungsmenge bestimmen
Das Zahlenpaar x = 1 2 und y = 2 löst die Gleichung.
 
Du schreibst die Lösung (in runden Klammern) als Zahlenpaar (x;y) = 1 2 ;2 . Du schreibst für die Lösungsmenge kurz L = { 1 2 ; -6 }.
L = { 1 2 ; 2 }
Koeffizienten sind gleich – Multiplikation mit -1
 
Durch das Addieren zweier Gleichungen erhältst du nicht immer sofort eine Gleichung mit einer Variablen. Du kannst die Gleichungen so umformen, dass bei einer der Variablen der Koeffizient in der einen Gleichung die Gegenzahl des Koeffizienten derselben Variablen in der anderen Gleichung ist.
 
Wenn die Koeffizienten derselben Variablen in beiden Gleichungen gleich sind, multiplizierst du eine der Gleichungen mit -1.
 
Löse folgendes Gleichungssystem in ℚ:
 
kem LGuU LGuUELGSAddv 6 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
In der Gleichung ist kein Koeffizient einer Variablen die Gegenzahl des Koeffizienten derselben Variablen in der anderen Gleichung.
 
Die Koeffizienten von x haben hier jedoch in beiden Gleichungen den gleichen Wert. Du multiplizierst eine der beiden Gleichungen mit -1, sodass du die Koeffizienten 3 und -3 erhältst.
kem LGuU LGuUELGSAddv 7 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Gleichungen addieren
Jetzt kannst du die Gleichungen addieren.
 
Die Variable x fällt weg 3 x + -3 x = 0 und du kannst y berechnen.
kem LGuU LGuUELGSAddv 8 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Anzahl der Lösungen bestimmen
Du löst die Gleichung -4 y = 8 :
 
kem LGuU LGuUELGSAddv 9 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
 
Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung, da du für y einen eindeutigen Wert erhältst.
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem in ℚ?
 
kem LGuU LGuUELGSAddv 10 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Lösungsmenge bestimmen
Du hast y bereits im vorigen Schritt berechnet. Um x zu berechnen, setzt du y = -2 in eine der Ausgangsgleichungen ein:kem LGuU LGuUELGSAddv 11 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
 
Die Probe bestätigt das Ergebnis:kem LGuU LGuUELGSAddv 12 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
L = {(5;-2)}
Koeffizienten sind ungleich
 
Du formst die Gleichungen so um, dass bei einer Variablen der Koeffizient in der einen Gleichung die Gegenzahl des Koeffizienten derselben Variablen in der anderen Gleichung ist. Dazu kannst du das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Koeffizienten einer Variablen in beiden Gleichungen verwenden.
 
Löse folgendes Gleichungssystem in ℚ:
 
kem LGuU LGuUELGSAddv 13 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Multiplizieren
In der Gleichung ist kein Koeffizient einer Variablen die Gegenzahl des Koeffizienten derselben Variablen in der anderen Gleichung.
 
Da der Koeffizient 15 von y in Gleichung II (-15) ein Vielfaches des Koeffizienten 3 von y in Gleichung I ist, ist es sinnvoll, die Gleichung I mit 5 zu multiplizieren, denn 5 * 3 = 15 und 15 ist die Gegenzahl von -15.
kem LGuU LGuUELGSAddv 14 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Lineares Gleichungssystem lösen
Du addierst beide Gleichungen: kem LGuU LGuUELGSAddv 15 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
 
Du berechnest x:kem LGuU LGuUELGSAddv 16 Additionsverfahren zum Lösen linearer GleichungssystemeDas Gleichungssystem hat genau eine Lösung.
 
Du setzt den Wert für x in eine Ausgangsgleichung ein und erhältst den Wert für y: kem LGuU LGuUELGSAddv 17 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
L={(2;1)}
Koeffizienten sind ungleich
 
Löse folgendes Gleichungssystem in ℚ:
 
kem LGuU LGuUELGSAddv 18 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Multiplizieren
In der Gleichung ist kein Koeffizient einer Variablen die Gegenzahl des Koeffizienten derselben Variablen in der anderen Gleichung. Du erweiterst beide Gleichungen so, dass ein Koeffizient der einen Variablen die Gegenzahl des Koeffizienten derselben Variablen in der anderen Gleichung ist.
 
Das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von y ist 12 .
 
Du multiplizierst die Gleichungen jeweils so, dass 12 und -12 die neuen Koeffizienten von y sind:kem LGuU LGuUELGSAddv 19 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
kem LGuU LGuUELGSAddv 20 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Lineares Gleichungssystem lösen
Du addierst beide Gleichungen: kem LGuU LGuUELGSAddv 21 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
 
Du berechnest x:kem LGuU LGuUELGSAddv 22 Additionsverfahren zum Lösen linearer GleichungssystemeDas Gleichungssystem hat also genau eine Lösung.
 
Du setzt den Wert für x in beide Ausgangsgleichungen ein: kem LGuU LGuUELGSAddv 23 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
 
kem LGuU LGuUELGSAddv 24 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
 
Du erhältst in beiden Gleichungen dasselbe Ergebnis für y und damit das Wertepaar ( x ; y ) = (2;-3) als Lösung.
L={(2;-3)}

Anzahl der Lösungen

Bei linearen Gleichungssystemen gibt es drei verschiedene Möglichkeiten für die Anzahl der Lösungen:
 
kem LGuU LGuUELGSAddv 25 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
keine Lösung
 
Löse folgendes Gleichungssystem in ℚ:
 
kem LGuU LGuUELGSAddv 26 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Lösung bestimmen
Du addierst die Gleichungen:
 
kem LGuU LGuUELGSAddv 27 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
 
Das Gleichungssystem hat keine Lösung, da bei der Addition der Gleichungen eine falsche Aussage entsteht: 0 = 18
 
Die Lösungsmenge ist leer: L={ }
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem in ℚ?
 
kem LGuU LGuUELGSAddv 28 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
unendlich viele Lösungen
 
Löse folgendes Gleichungssystem in ℚ:
 
kem LGuU LGuUELGSAddv 29 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Lösung bestimmen
Du löst das lineare Gleichungssystem:
 
kem LGuU LGuUELGSAddv 30 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
 
Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, da bei der Addition der Gleichungen eine Aussage entsteht, die unabhängig von x stets wahr ist: 0 = 0
 
Für jeden x-Wert in ℚ erhältst du nach Einsetzen in die Gleichungen genau einen Wert für y.Durch Umstellen einer der beiden Ausgangsgleichungen erhältst du: y = 4 - 3 x
 
Es ergibt sich folgende Lösungsmenge: L = { x ; 4 - 3 x |x ∈ ℚ}
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem in ℚ?
 
kem LGuU LGuUELGSAddv 31 Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme