Algebra und Funktionen

Addition und Subtraktion von Termen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Terme durch Addition und Subtraktion zusammenfassen kannst. Gleichartige Terme Gleichartige Terme zusammenfassen Gleichartige Terme Terme, die die gleichen Variablen und die gleichen Potenzen der Variablen enthalten, sind gleichartige Terme. Solche Terme kann man addieren und subtrahieren, bzw. zusammenfassen. Die Terme 4 a , 7 a , -3 a […]

Addition und Subtraktion von Termen mit Klammern

Gleichartige Terme zusammenfassen Klammerausdrücke addieren Klammerausdrücke subtrahieren Vervollständigen von Gleichungen Gleichartige Terme zusammenfassen Gleichartige Terme sind Terme mit der gleichen Variable und der gleichen Potenz .   Gleichartige Terme fasst du zusammen, indem du ihre Koeffizienten addierst oder subtrahierst.   Vereinfache.   3 a + 4 a   Beide Terme haben die gleiche Variable. Du […]

Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme

Hier erfährst du, wie du mit dem Additionsverfahren lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen kannst. Lösen von linearen Gleichungssystemen Anzahl der Lösungen Lösen von linearen Gleichungssystemen Du kannst zum Lösen von Gleichungssystemen mit zwei linearen Gleichungen das Additionsverfahren nutzen.   Die beiden Gleichungen kannst du jeweils im Waagemodell betrachten. Beide Waagen befinden sich im Gleichgewicht. […]

Antiproportionale Zuordnungen

In diesen Erklärungen erfährst du, was antiproportionale Zuordnungen sind und wie du sie erkennen, konstruieren und graphisch darstellen kannst. Antiproportionale Zuordnungen und ihre Wertetabellen Graphen antiproportionaler Zuordnungen Antiproportionales Rechnen Antiproportionale Zuordnungen und ihre Wertetabellen Zuordnungen werden als antiproportional bezeichnet, wenn das Produkt einander zugeordneter Werte immer gleich ist.Das Produkt nennt man dann Antiproportionalitätsfaktor.   Für […]

Anwendungen von Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen mit prozentualer Zu- oder Abnahme Von der Verdopplungszeit zur Exponentialfunktion Von der Halbwertszeit zur Exponentialfunktion Exponentialfunktion aus Wertepaaren modellieren Exponentialfunktionen mit prozentualer Zu- oder Abnahme Nimmt eine Größe G ausgehend vom Anfangswert G 0 pro Schritt um p % zu bzw. ab, so kann ihr Wert in Abhängigkeit von der Anzahl x der Schritte […]

Anwendungen von Zuordnungen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du proportionale von antiproportionalen Zuordnungen an Wertetabellen, Grafiken und in Alltagssituationen unterscheiden kannst. Wertetabellen und Graphen Zuordnungen in Textaufgaben Wertetabellen und Graphen Ist eine Wertetabelle oder ein Graph einer Zuordnung gegeben, so kannst du daran erkennen, ob die Zuordnung proportional oder antiproportional ist.   Bei einer gegeben Wertetabelle überprüfst […]

Anwendungen zu Gleichungen

Hier erfährst du anhand verschiedener Beispiele, wie man mathematische Fragestellungen mit Hilfe von Gleichungen lösen kann. Wie löst man Anwendungsaufgaben? Zahlenrätsel Altersrätsel Bewegungsaufgaben Historische Aufgaben /Märchenhaftes Wie löst man Anwendungsaufgaben? Anwendungsaufgaben, Rätsel und viele Probleme aus dem Alltag kannst du lösen, indem du für die beschriebene Situation eine Gleichung aufstellst und diese anschließend löst. Es […]

Anwendungen zu linearen Gleichungssystemen

Hier erfährst du, wie du Textaufgaben mit Hilfe von linearen Gleichungssystemen lösen kannst. Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Bei Textaufgaben ist es hilfreich, Schritt für Schritt vorzugehen.   1. Variablen einführenDu überlegst, was mit Hilfe der Variablen beschrieben werden soll.   2. Gleichungen aufstellenDu überlegst, wie die Größen, […]

Anwendungen zu Ungleichungen

Hier erfährst du anhand verschiedener Beispiele, wie du mathematische Fragestellungen mit Hilfe von Ungleichungen lösen kannst. Wie löst man Textaufgaben? Zahlenrätsel Mischungsaufgaben Wie löst man Textaufgaben? Die Anwendungen, Rätsel und Probleme aus dem Alltag, die in den Beispielen aufgeführt sind, lassen sich lösen, indem du Ungleichungen aufstellst und diese löst. Es ist hilfreich, wenn du […]

Anwendungen zum Lösen von Exponentialgleichungen

Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Logarithmische Einteilung Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Wird zu einem Wachstumsprozess danach gefragt, nach wie vielen Schritten (nach welcher Zeit) ein bestimmter Wert oder Anteil erreicht wird, kannst du die gesuchte Größe ermitteln, indem du eine Exponentialgleichung der Form G x = G 0 * b x aufstellst […]

Anwendungen zur Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

Hier erfährst du, wie du mit den Winkelfunktionen mathematische Probleme aus dem Alltag lösen kannst. Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Vermessungen mit dem Theodolit Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse Je nach Wahl des Winkels bekommen die Seiten im rechtwinkligen Dreieck „neue Namen“.     Die Zuordnungen „Winkel“ -> „Seitenverhältnis“ sind eindeutig und definieren […]

Aufstellen von Termen

In diesen Erklärungen erfährst du, was ein Term ist, wie du Terme aufstellen kannst, und wie du mit Hilfe von Termen verschiedene Situationen mathematisch beschreiben kannst. Was ist ein Term? Terme aufstellen Terme zu geometrischen Formen und Figuren Terme bei Sachaufgaben Was ist ein Term? Ein Term ist ein Rechenausdruck, in dem Zahlen, Variablen und […]

Ausmultiplizieren und Ausklammern

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du eine Summe oder Differenz von Termen mit Zahlen oder Variablen multiplizieren (Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken) und wie du Summen oder Differenzen von Termen in Produkte umwandeln kannst (Ausklammern). Multiplikation von Klammerausdrücken Ausklammern Multiplikation von Klammerausdrücken Du kannst Summen — z.B. 3 x + 5 — bzw. Differenzen — z.B. […]

Bearbeiten von Wertetabellen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Wertetabellen zur Termwertberechnung verwenden kannst und unter welchen Bedingungen zwei Terme äquivalent sind. Wertetabellen aufstellen Wertetabelle bearbeiten äquivalente Terme Wertetabellen aufstellen Wenn du mehrere Termwerte für verschiedene Werte einer Variablen bestimmen sollst, ist eine Wertetabelle hilfreich. Die Wertetabelle enthält für jede im Term verwendete Variable eine Zeile und […]

Beispiele für Funktionen

Hier kannst du wichtige Beispiele für Funktionen kennenlernen. Proportionale und antiproportionale Zuordnungen als Funktionen Lineare Funktionen kennenlernen Lineare, antiproportionale und quadratische Funktionen im Vergleich Definitionslücken bei Funktionstermen Nullstellen bestimmen Proportionale und antiproportionale Zuordnungen als Funktionen Proportionale Zuordnungen sind spezielle Funktionen.   Die Zuordnungsvorschrift jeder proportionalen Zuordnung lässt sich immer in der Form   x m […]

Berechnen von Termwerten

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du in einem Term Variablen durch Zahlenwerte ersetzen und wie du den Wert eines Terms berechnen kannst. Berechnen von Termwerten Berechnen von Termwerten Viele Alltagssituationen (z. B. die monatliche Handyrechnung) oder geometrische Sachverhalte (Flächeninhalt eines Rechtecks) lassen sich durch Terme mit Variablen beschreiben. Um einen Termwert bestimmen zu können, […]

Berechnungen an Figuren und Körpern

Hier erfährst du, wie du mit den Winkelfunktionen unzugängliche Streckenlängen und Winkel in Figuren und Körpern berechnen kannst. Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse Je nach Wahl des Winkels bekommen die Seiten im rechtwinkligen Dreieck „neue Namen“.     Die Zuordnungen „Winkel“ -> „Seitenverhältnis“ sind eindeutig und definieren die […]

Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken

Hier erfährst du, wie du mit Hilfe der Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens Seitenlängen und Winkelgrößen am rechtwinkligen Dreieck berechnen kannst und wie du dabei den Taschenrechner richtig benutzt. Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse Benutzung des Taschenrechners Berechnung von Winkeln und Seitenlängen Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse Da rechtwinklige Dreiecke mit gleich großen Winkeln ähnlich zueinander sind, sind die […]

Besondere Punkte linearer Funktionen

Hier erfährst du, welche besonderen Punkte eine lineare Funktion hat, wie du sie bestimmst und welche Bedeutung diese Punkte in Sachsituationen haben. Schnittpunkte der Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen Berechnen der Nullstelle Bestimmen des y-Achsenabschnitts Berechnen des y-Achsenabschnitts Bedeutung der Achsenabschnitte in Sachsituationen Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen Schnittpunkte der Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen Jeder Funktionsgraph, der nicht […]

Binomische Formeln

Hier erfährst du, was binomische Formeln sind und wie du sie geschickt zum Lösen von Aufgaben verwenden kannst.Die binomischen Formeln beschreiben einen Spezialfall der Multiplikation von zwei Klammertermen.Das Wort „binomisch“ kommt aus dem Lateinischen von „bi“ + „nomen“ und bedeutet so viel wie „zwei Namen“, d. h. die Klammern enthalten genau zwei Summanden oder eine […]

Bruchgleichungen lösen und darstellen

Hier erfährst du, wie du Bruchgleichungen durch Probieren, graphisch oder durch Umformungen lösen kannst.Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung die Bruchterme enthält.   Da Bruchgleichungen nicht für alle Zahlen definiert sein müssen, bestimmst du den maximalen Definitionsbereich aller Bruchterme und versicherst dich, dass jeder berechnete Wert für die unbekannte Variable im Definitionsbereich jedes Bruchterms enthalten ist. […]

Der Kosinussatz

Hier erfährst du, wie du mit dem Kosinussatz Seitenlängen und Winkel an beliebigen Dreiecken berechnen kannst Der Kosinussatz Seitenlänge berechnen Winkel berechnen Der Kosinussatz Seitenlänge berechnen Mit dem Kosinussatz kannst du aus den Längen zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws) die Länge der dritten Seite berechnen. Winkel berechnen Mit dem Kosinussatz kannst du aus […]

Der Sinussatz

Hier erfährst du, wie du mit dem Sinussatz Seitenlängen und Winkel in beliebigen Dreiecken berechnen kannst. Der Sinussatz Seitenlängen berechnen Winkel berechnen Der Sinussatz Das Verhältnis der Längen zweier Seiten ist gleich dem Verhältnis der Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel. Seitenlängen berechnen Mit dem Sinussatz kannst du aus zwei Winkeln und der Länge einer der beiden […]

Die Winkelfunktion Tangens

Vom Einheitskreis zur Winkelfunktion Der Graph der Tangensfunktion Periodizität Symmetrien von Tangens Trigonometrische Gleichungen lösen Vom Einheitskreis zur Winkelfunktion Die Bezeichnung “Tangens” ergibt sich aus dem Begriff Tangente.     Der Tangens entspricht der Länge der pinken Strecke, die auf der Tangente des Einheitskreises im Punkt 1 | 0 liegt.   Mit Hilfe des zweiten […]

Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus

Vom Einheitskreis zur Winkelfunktion Der Graph der Sinusfunktion Der Graph der Kosinusfunktion Periodizität Symmetrien von Sinus und Kosinus Trigonometrische Gleichungen lösen Vom Einheitskreis zur Winkelfunktion Die Bezeichnung „Sinus“ ist lateinisch und bedeutet Bogen.   Bewegst du einen Punkt P auf dem Einheitskreis gegen den Uhrzeigersinn und trägst zu jedem Drehwinkel α die y-Koordinate des Punktes […]

Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen

Hier erfährst du, welche Eigenschaften gebrochen-rationale Funktion haben, wie du ihren Definitionsbereich bestimmen und ihren Graphen erkennen kannst.   Außerdem wird dir gezeigt, wie du den Graphen einer Funktion mit der Funktionsgleichung vom Typ y = a x + c + d zeichnen kannst. Beispiele Definitionslücken und Definitionsbereiche bestimmen Waagerechte und senkrechte Asymptoten bestimmen Einfluss […]

Eigenschaften linearer Funktionen

In diesen Erklärungen erfährst du, welche Eigenschaften lineare Funktionen haben und wie du sie anhand ihrer graphischen Darstellung oder der Funktionsgleichung erkennen kannst. Die Gerade als Graph einer linearen Funktion Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion Einfluss der Parameter m und b und Spezialfälle Das Steigungsverhalten des Graphen einer linearen Funktion Geradengleichungen in Normalform und in […]

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Eigenschaften der Exponentialfunktion Die allgemeine Exponentialfunktion Verschiebung in y-Richtung Verschiebung in x-Richtung Eigenschaften der Exponentialfunktion Der Graph einer Exponentialfunktion y = b x mit b gt 0 , b ≠ 1 enthält die Punkte 0 | 1 und 1 | b .   Du kannst also den Funktionsterm einer Exponentialfunktion schnell mit Hilfe des Graphen […]

Eigenschaften von Potenzfunktionen

Symmetrien bei Potenzfunktionen Monotonie von Potenzfunktionen Krümmung bei Potenzfunktionen Symmetrien bei Potenzfunktionen Allgemeine Potenzfunktionen mit geradem Grad sind gerade Funktionen, allgemeine Potenzfunktionen mit ungeradem Grad sind ungerade Funktionen. Eine allgemeine Potenzfunktion f mit geradem Grad ist eine gerade Funktion .   Es gilt f x = f – x für alle reellen Zahlen x.   […]

Einfache quadratische Gleichungen lösen

Lösung einer quadratischen Gleichung Reinquadratische Gleichungen lösen Quadratische Gleichungen mit Binom lösen Lösen durch Ausklammern Lösung einer quadratischen Gleichung Eine quadratische Gleichung der Form x 2 = a mit a gt 0 hat immer 2 Lösungen. Eine Zahl x ist dann Lösung einer Gleichung, wenn durch Einsetzen der Zahl x die Gleichung zu einer wahren […]

Einführung in quadratische Funktionen

Funktionsterm und Graph einer quadratischen Funktion Besondere Punkte von quadratischen Funktionen Symmetrieeigenschaften der Parabel Definitionsbereich und Wertebereich einer quadratischen Funktion Funktionsterm und Graph einer quadratischen Funktion Funktionen, die sich mit Termen der Form   f x = a x 2 + b x + c mit a ≠ 0   darstellen lassen, heißen quadratische Funktionen. […]

Einsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme

Hier erfährst du, wie du mit dem Einsetzungsverfahren lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen kannst. Lösen von linearen Gleichungssystemen Anzahl der Lösungen Lösen von linearen Gleichungssystemen Du kannst zum Lösen von Gleichungssystemen mit zwei linearen Gleichungen das Einsetzungsverfahren nutzen.   Ziel dieses Verfahrens ist, eine Gleichung zu erhalten, die nur noch eine Variable enthält.   […]

Elementare Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens und besondere Winkel

Hier erfährst du, welche Zusammenhänge zwischen den Winkeln in einem rechtwinkligen Dreieck bestehen und wie du diese ausnutzen kannst um andere Größen des Dreiecks zu berechnen. Elementare Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus sin²(α) + cos²(α) = 1 Der Tangens als Quotient aus Sinus und Kosinus Der Tangens, Sinus und Kosinus von 45°, 30° und 60° […]

Exponentielles Wachstum

Berechnen des Wachstumsfaktors aus einer Angabe in Prozent Berechnungen zum exponentiellen Wachstum Berechnungen mit Anteilen von Wachstumsschritten Berechnen des Wachstumsfaktors aus einer Angabe in Prozent Aus einer Prozentangabe kannst du den Wachstumsfaktor b bestimmen:   Eine Zunahme um 25 % entspricht einem Wachstumsfaktor     Wächst eine Bakterienpopulation von anfangs 200 Bakterien stündlich um 25 […]

Funktionsgleichung bestimmen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Funktionsgleichungen zu linearen Funktionen aufstellen kannst. Funktionsgleichungen aufstellen durch Ablesen am Graphen Funktionsgleichungen aufstellen zur Berechnung besonderer Punkte Funktionsgleichungen mit Punkt und Steigung bestimmen Funktionsgleichungen mit Hilfe von zwei Punkten bestimmen Funktionsgleichungen aufstellen durch Ablesen am Graphen Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Gleichung hat […]

Funktionsgraph zeichnen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du die Graphen linearer Funktionen zeichnen kannst. Graphen zeichnen, wenn zwei Punkte gegeben sind Graphen zeichnen, wenn ein Punkt und die Steigung gegeben sind Graphen zeichnen, wenn die Geradengleichung gegeben ist Graphen zeichnen, wenn zwei Punkte gegeben sind Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.Zum Zeichnen einer Geraden […]

Funktionsgraphen verstehen

Hier erfährst du, wie du Funktionsgraphen interpretieren und dadurch nützliche Informationen aus ihnen ablesen kannst. Aus Funktionsgraphen Wertepaare ablesen Definitions- und Wertebereich am Funktionsgraphen erkennen Besondere Punkte auf dem Funktionsgraphen Monotonie-Intervalle Funktionsgraphen und Prozesse Aus Funktionsgraphen Wertepaare ablesen Das ist der Funktionsgraph der Funktion f(x) = x 2 – 8 .     Der Graph […]

Gleichsetzungsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme

Hier erfährst du, wie du mit dem Gleichsetzungsverfahren lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen kannst. Lösen von linearen Gleichungssystemen Anzahl der Lösungen Lösen von linearen Gleichungssystemen Du kannst zum Lösen von Gleichungssystemen mit zwei linearen Gleichungen das Gleichsetzungsverfahren nutzen.   Ziel dieses Verfahrens ist, eine Gleichung zu erhalten, die nur noch eine Variable enthält. Wenn […]

Gleichungen erkennen und aufstellen

Hier erfährst du, wie du aus Grafiken und Texten mathematische Gleichungen aufstellen kannst. Was ist eine Gleichung? Gleichungen mit einer Variablen am Waagemodell Addition und Subtraktion mit einer Variablen am Zahlenstrahl Multiplikation mit einer Variablen am Zahlenstrahl Gleichungen mit einer Variablen in Textaufgaben Was ist eine Gleichung? Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch […]

Grafisches Lösen linearer Gleichungssysteme

Hier erfährst du, wie du lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen grafisch lösen kannst. Lineare Gleichungssysteme Grafisches Lösen von linearen Gleichungssystemen Koeffizienten und Absolutglieder in linearen Gleichungssystemen Lineare Gleichungssysteme Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden ein lineares Gleichungssystem. Ein Zahlenpaar, das beide lineare Gleichungen erfüllt, wird Lösung des linearen Gleichungssystems genannt.   Die linearen Gleichungen […]

Grundbegriffe zu Funktionen

Hier erfährst du, was eine Funktion ist und wie du sie beschreiben und darstellen kannst. Zuordnungen und Funktionen Begriffe und Symbole bei Funktionen Graphen von Zuordnungen und Funktionen Zuordnungen und Funktionen Zuordnungen spielen im täglichen Leben, in den Naturwissenschaften und natürlich in der Mathematik eine sehr wichtige Rolle. Eine Zuordnung ist eine Beziehung, die – […]

Grundlagen der Prozentrechnung

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Prozente berechnest, vergleichst und schätzt, wie du Zahlenangaben in Prozente umrechnest, was Promille sind und wie du sie berechnest und was relative und absolute Größen sind. Brüche, Dezimalzahlen und Prozente Vergleich von Brüchen und Prozenten Anteile, Bruchteile, Prozente und ihre Darstellung Relative und absolute Größen Prozentangaben schätzen Promille […]

Grundlagen zu linearem und exponentiellem Wachstum

Lineares und exponentielles Wachstum im Vergleich Lineares und exponentielles Wachstum im Vergleich Beim Wachstum einer Größe ist oft von Interesse, welche Werte diese Größe nach einer bestimmten Anzahl von gleichbleibenden Schritten – oft Zeitschritten – annimmt.Ein Zeitschritt kann je nach Sachzusammenhang (z. B. Bakterienwachstum oder radioaktiver Zerfall) wenige Sekunden oder viele Jahre dauern. Lineares Wachstum […]

Grundlagen zu Potenzfunktionen

Hier erfährst du, was eine Potenzfunktion ist, und lernst die wichtigsten Grundlagen zu Potenzfunktion mit natürlichen Exponenten kennen. Was ist eine Potenzfunktion? Charakteristische Graphen von Potenzfunktionen Bedeutung des Koeffizienten im Term von Potenzfunktionen Was ist eine Potenzfunktion? Eine Potenzfunktion f (mit natürlichem Exponenten) ist eine Funktion mit einem Funktionsterm der Form f x = x […]

Grundlagen zu Ungleichungen

Hier erfährst du, wie du aus Grafiken und Textaufgaben Ungleichungen erkennen und aufstellen kannst. Was ist eine Ungleichung? Ungleichungen mit einer Variablen am Waagemodell Ungleichungen in Sachzusammenhängen Ungleichungen an der Zahlengeraden Was ist eine Ungleichung? Eine Ungleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Relationszeichen (< „ist kleiner als“, > “ist größer als“) miteinander verbunden […]

Lagebeziehungen von Geraden

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du anhand der Geradengleichungen entscheiden kannst, welche Lagebeziehung zwei Geraden zueinander haben. Parallele Geraden Senkrechte Geraden Spiegeln von Geraden an den Koordinatenachsen Lagebeziehungen zweier Geraden ermitteln Parallele Geraden Parallele Geraden haben keinen Schnittpunkt. Der Abstand zweier paralleler Geraden ist überall gleich, denn parallele Geraden haben dieselbe Steigung.   Zeichne […]

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Lösungen linearer Gleichungen mit zwei Variablen bestimmen Lösungsmenge linearer Gleichungen mit zwei Variablen graphisch darstellen Lineare Gleichungen mit zwei Variablen Geradengleichungen zuordnen Lineare Gleichungen mit zwei Variablen, Geradengleichungen und Wertepaare einander zuordnen Lösungen linearer Gleichungen mit zwei Variablen bestimmen Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen ist eine Gleichung der Form a x + b y […]

Logarithmen kennenlernen

Der Logarithmus als Lösung einer Exponentialgleichung Dekadischer Logarithmus Basiswechsel Der Logarithmus als Lösung einer Exponentialgleichung „ Logarithmus “ ist das griechische Wort für „ Exponent “ .   Für eine positive Zahl b und eine reelle Zahl a ist der Logarithmus die Antwort auf: „ b hoch was ist a ? “ , also die […]

Lösen linearer Gleichungssysteme mit drei Variablen

Hier erfährst du, wie du Gleichungssysteme mit drei Variablen systematisch in Dreiecksgestalt bringst, um sie zu lösen. Lineare Gleichungssysteme in Dreiecksgestalt lösen Allgemeines lineares Gleichungssystem mit drei Variablen lösen Lineare Gleichungssysteme in Dreiecksgestalt lösen Ein lineares Gleichungssystem ist nur dann eindeutig lösbar, wenn es aus mindestens so vielen Gleichungen besteht wie Variablen darin enthalten sind. […]

Lösen von Exponentialgleichungen

Lösen durch Exponentenvergleich Lösen durch Logarithmieren Lösen durch Exponentenvergleich Einfache Exponentialgleichungen kannst du im Kopf lösen, wenn du auf beiden Seiten der Gleichung Potenzen mit derselben Basis hast. Manchmal ist das offensichtlich, manchmal benötigst du eine einfache Umformung. Linke Seite vereinfachen:     Also:     Exponentenvergleich ergibt:   x = 2 Du schreibst beide […]

Lösen von Gleichungen durch Äquivalenzumformungen

Hier erfährst du, wie du Gleichungen systematisch mit Hilfe von äquivalenzumformungen lösen kannst und wie du überprüfst, ob die Lösung richtig ist. äquivalente Gleichungen Gleichungen lösen durch äquivalenzumformungen äquivalenzumformungen am Waagemodell Besondere Lösungsmengen äquivalente Gleichungen Zwei Gleichungen sind äquivalent , wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben. Die Gleichungen 3x + 7 = 16 und x = […]

Lösen von Gleichungen durch Probieren

Hier erfährst du, wie du Gleichungen durch Probieren löst und wie du überprüfst, ob eine gegebene Zahl Lösung einer Gleichung ist. In einer Gleichung, die eine Variable enthält, kannst du die Variable durch Zahlen ersetzen. Dabei entsteht entweder eine wahre oder eine falsche Aussage. Eine Gleichung lösen heißt, alle die Zahlen aus der Grundmenge zu […]

Lösen von Ungleichungen

Hier erfährst du, wie du Ungleichungen systematisch mit Hilfe von äquivalenzumformungen lösen und wie du überprüfen kannst, ob die Lösung richtig ist. Ungleichungen lösen durch äquivalenzumformungen Angabe der Lösungsmenge Ungleichungen mit negativen Zahlen multiplizieren Ungleichungen lösen durch äquivalenzumformungen Durch äquivalenzumformungen kannst du Ungleichungen verändern, ohne deren Lösungsmenge zu ändern.Man sagt dann, dass die Variable durch […]

Lösungsstrategien für Sinus- und Kosinussatz

Hier erfährst du, unter welchen Voraussetzungen für die Berechnungen in Dreiecken die Anwendung des Sinussatzes oder die des Kosinussatzes die bessere Strategie ist. Den richtigen Satz benutzen Alle Größen im Dreieck berechnen Den richtigen Satz benutzen Kennst du mindestens drei Größen (Seitenlängen und/oder Winkel) in einem beliebigen Dreieck, dann kannst du mindestens eineweitere Größe berechnen, […]

Mit der abc-Formel quadratische Gleichungen lösen

Herleitung der abc-Formel Anzahl der Lösungen mit der Diskriminante bestimmen Lösen quadratischer Gleichungen Herleitung der abc-Formel Lösungsformel für eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form a x 2 + b x + c = 0   abc-Formel: – b ± b 2 – 4 a c 2 a Die abc-Formel entsteht aus der quadratischen Gleichung in […]

Mit der p/q-Formel quadratische Gleichungen lösen

Herleitung der pq-Formel Lösen quadratischer Gleichungen Anzahl der Lösungen mit der Diskriminante bestimmen Satz von Vieta Herleitung des Satzes von Vieta Herleitung der pq-Formel Lösungsformel für eine quadratische Gleichung in Normalform x 2 + p x + q = 0   pq-Formel: x 1/2 = – p 2 ± p 2 2 – q   […]

Mit der quadratischen Ergänzung quadratische Gleichungen lösen

Gleichungen lösen mit der quadratischen Ergänzung Gleichungen lösen mit der quadratischen Ergänzung Quadratischen Gleichungen der Form x 2 + p x + q = 0 kannst du lösen, indem du den Term x 2 + p x quadratisch ergänzt.   Addierst du den Term p 2 2 , entsteht durch Anwenden der binomischen Formeln der […]

Multiplikation und Ausklammern bei Termen mit Potenzen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Terme mit Potenzen mit Hilfe der Potenzgesetze multiplizieren kannst.     Weiterhin erfährst du, wie du Terme mit Potenzen durch Ausklammern gemeinsamer Faktoren in ein Produkt umwandeln kannst. Multiplikation von Termen mit gleichen Basen Multiplikation von Termen mit gleichen Exponenten Anwenden der Potenzgesetze bei Termen Potenzieren von Potenzen […]

Multiplikation von Termen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Terme miteinander multiplizieren und wie du Terme dividieren kannst. Vervielfachen eines Terms Variablen multiplizieren Terme miteinander multiplizieren Einen Term durch eine Zahl dividieren Vervielfachen eines Terms Einen Term zu vervielfachen, bedeutet, ihn mit einer Zahl zu multiplizieren.Bei Termen, die nur aus einer Variablen mit einem Koeffizienten bestehen, zum […]

Multiplizieren von Termen mit Klammern

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Terme mit Klammern miteinander multiplizieren kannst. Im Folgenden sprechen wir auch von Summen, wenn ein Minuszeichen zwischen den Termgliedern steht Multiplizieren von Summen Multiplizieren von Summen Du weißt bereits, wie man mit Hilfe des Distributivgesetzes einen einzelnen Term mit einer Summe multipliziert. Besteht der Term selbst wieder aus […]

Nullstellen- und Schnittpunktberechnungen

Nullstellen einer Parabel Nullstellen berechnen Anzahl der Nullstellen anhand der Diskriminante bestimmen Schnittpunkte zweier Graphen Anzahl der Schnittpunkte zweier Parabeln Nullstellen einer Parabel Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die die Funktion den Wert null annimmt. An einer Nullstelle x 0 gilt also f x 0 = 0 .   An einer […]

Periodische Vorgänge – Die allgemeine Sinusfunktion

Die allgemeine Form der Gleichung Verschiebung entlang y-Achse Die Amplitude: Streckung oder Stauchung der Sinuskurve in y-Richtung Die Phase: Verschiebung der Sinuskurve in x-Richtung Die Periode: Streckung oder Stauchung der Sinuskurve in x-Richtung Kombination verschiedener Parameter Die allgemeine Form der Gleichung Du kennst die normale Sinuskurve mit y = sin(x).     Durch die Verwendung […]

Potenzgesetze für Potenzen mit gleichem Exponenten

Multiplikation von Potenzen Division von Potenzen Multiplikation von Potenzen Für eine natürliche Zahl n und reelle Zahlen a und b gilt: a n * b n = a * b n   Du bildest das Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten, indem du ihre Basen multiplizierst.   a n * b n = a * […]

Potenzgesetze für Potenzen mit gleicher Basis

Multiplikation von Potenzen Division von Potenzen Potenzieren von Potenzen Multiplikation von Potenzen Für natürliche Zahlen m und n und eine reelle Zahl agilt: a m * a n = a m + n Du multiplizierst Potenzen mit gleicher Basis, indem duihre Exponenten addierst.   a m * a n = a * … * a […]

Potenzgesetze für Potenzen mit negativem Exponenten

Potenzgesetze Potenzgesetze 1. Für eine ganze Zahl n und eine reelle Zahl a ≠ 0 ist a – n = 1 a n .2. Für eine reelle Zahl a ≠ 0 ist a -1 = 1 a 3. Für eine ganze Zahl n und reelle Zahlen a und b, beide ungleich 0, ist a b […]

Potenzgesetze für Potenzen mit rationalem Exponenten

Potenzen mit rationalen Exponenten Potenzgesetze Berechnen von Potenzen mit rationalem Exponenten Rechnen mit Wurzeln Rationalmachen des Nenners Potenzen mit rationalen Exponenten Für eine positive reelle Zahl a und natürliche Zahlen m , n ≥ 2 wird vereinbart:   a m n = a m n und a – m n = 1 a m n […]

Potenzschreibweise

Die n-te Potenz Potenzen mit negativer Basis Basis oder Exponent einer Potenz bestimmen Die n-te Potenz Für eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl n gt 1 ist:   a n = a * … * a ⏟ n-mal Sprich: a hoch n Potenzen mit negativer Basis   Das Produkt aus einer geraden Anzahl […]

Proportionale Zuordnungen

In diesen Erklärungen erfährst du, was proportionale Zuordnungen sind und wie du sie erkennen, konstruieren und graphisch darstellen kannst. Dir wird gezeigt, wie die Dreisatz-Rechnung funktioniert und wie du damit Werte einer proportionalen Zuordnung bestimmen kannst. Wertetabellen und Zuordnungen Proportionale Zuordnungen und ihre Wertetabellen Graphen proportionaler Zuordnungen Dreisatz-Rechnung Wertetabellen und Zuordnungen Mit Zuordnungen kann eine […]

Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen

Faktorisierte Form quadratischer Gleichungen lösen Quadratische Gleichungen mittels Faktorisierung lösen – Differenz von Quadraten Quadratische Gleichungen mittels Faktorisierung lösen – Vollständiges Quadrat Faktorisierte Form quadratischer Gleichungen lösen   Ist die linke Seite einer quadratischen Gleichung in faktorisierter Form dargestellt, kannst du die Lösungsmenge L der Gleichung bestimmen, indem du jeden Faktor gleich null setzt und […]

Rechnen mit Bruchtermen

Hier erfährst du, wie du Bruchterme kürzen, erweitern, addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kannst. Mit Bruchtermen rechnest du genauso wie mit Brüchen, nur dass hier auch Variablen vorkommen.   Außerdem wird dir gezeigt, wie du einen Definitionsbereich bestimmen kannst, auf dem die Bruchterme vor und nach der Umformung äquivalent sind, denn beim Umformen eines Bruchterms […]

Rechnen mit Logarithmen

Logarithmengesetze Logarithmen von Termen oder Terme mit Logarithmen zusammenfassen Logarithmengesetze Aus den Potenzgesetzen ergeben sich Gesetze für das Rechnen mit Logarithmen: log b u * v = log b u + log b v   log b u v = log b u – log b v   log b u r = r * […]

Rechnen mit Prozenten

Begriffe der Prozentrechnung im Sachkontext zuordnen Prozentwert berechnen Prozentsatz berechnen Grundwert berechnen Prozente in Diagrammen darstellen Begriffe der Prozentrechnung im Sachkontext zuordnen Prozentangaben beschreiben Größenverhältnisse und werden durch das Symbol % dargestellt.   Prozent bedeutet von Hundert: 1 % = 1 100   Der Grundwert ist das Ganze und entspricht 100 % .Der Prozentwert ist […]

Rechnen mit Prozenten mit dem Dreisatz

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du mit dem Dreisatz Prozentsätze, Grund- und Prozentwerte berechnen und damit gesuchte Größen in konkreten Anwendungen bestimmen kannst. Dreisatz-Rechnung mit Prozent-Angaben Prozentrechnung mit Diagrammen Prozentrechnung in Textaufgaben Dreisatz-Rechnung mit Prozent-Angaben Die Zuordnung von Prozentwerten zu Prozentsätzen oder von Prozentsätzen zu Prozentwerten ist immer proportional.Daher kannst du zum Bestimmen von […]

Rechnen mit Prozenten mit den Formeln

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du zur Berechnung eines Prozentsatzes, Grund- oder Prozentwertes Formeln verwenden kannst und wie du einen vermehrten oder verminderten Grundwert bestimmst. Formeln anwenden Vermehrten oder verminderten Grundwert berechnen Herleitung der Formeln Formeln anwenden Zum Bestimmen eines Prozentsatzes (p %), Grundwertes (G) oder Prozentwertes (W) kannst du jeweils eine Formel benutzen. […]

Rechnen mit Zinsen

In diesen Erklärungen erfährst du, was Kapital, Zinssatz und Zinsen bedeuten und wie du damit rechnen kannst. Dir wird erklärt, was Zinseszinsen sind und wie du sie berechnest. Begriffe in der Zinsrechnung Rechnen mit Formeln Zinsen mit unterschiedlichen Zeitangaben Zinseszins berechnen Begriffe in der Zinsrechnung Wenn man mit Geldwerten rechnet, wird die Prozentrechnung häufig auch […]

Rechnerische Bestimmung der Scheitelpunktform

Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform Von der faktorisierten Form zur Scheitelpunktform Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform Mit der quadratischen Ergänzung bringst du den Funktionsterm f x = a x 2 + b x + c in die Scheitelpunktform f x = a x – d 2 + e .   a = 1 […]

Scheitelpunktform: Parabeln verschieben, strecken und stauchen

Verschiebung entlang der y-Achse Verschiebung entlang der x-Achse Streckung, Stauchung und öffnung Scheitelpunktform Verschiebung entlang der y-Achse Addierst du zum Funktionsterm der Funktion f mit f x = x 2 eine Konstante e, dann ist der Graph der neuen Funktion   g x = x 2 + e   eine entlang der y-Achse verschobene Normalparabel. […]

Steigung linearer Funktionen

Hier erfährst du, welche Bedeutung die Steigung einer linearen Funktion hat, wie du sie am Funktionsgraphen ablesen und wie du sie berechnen kannst. Bedeutung der Steigung Betrag der Steigung Das Steigungsdreieck Steigung an einer Geraden ablesen Gerade mit vorgegebener Steigung zeichnen Bedeutung der Steigung in Sachsituationen Berechnung der Steigung Bedeutung der Steigung Die Gleichung einer […]

Trigonometrie am Einheitskreis

Hier erfährst du, wie du Sinus und Kosinus auch für Winkel, die größer sind als 90 ° , berechnen kannst. Sinus und Kosinus am Einheitskreis Symmetrien an der x-Achse Symmetrien an der y-Achse Symmetrien am Ursprung Negative Winkel Lösen trigonometrischer Gleichungen Sinus und Kosinus am Einheitskreis Zu jedem Winkel α zwischen 0 ° und 360 […]

Trigonometrie im Bogenmaß

Sinus, Kosinus und Tangens für Winkel im Bogenmaß Umgang mit dem Taschenrechner im Modus RAD Sinus, Kosinus und Tangens für Winkel im Bogenmaß Ein Winkel lässt sich sowohl im Bogenmaß (rad), als auch im Gradmaß (°) angeben.   Daher lassen sich die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens auch für reelle Zahlen definieren: Der rechte […]

Vereinfachen von Termen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Terme so weit wie möglich vereinfachen kannst. Terme vereinfachen Terme vereinfachen Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Löse alle Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen. 3 x x + […]

Wachstum und Rekursion

Hier erfährst du, wie du Rekursionsformeln für exponentielles und lineares Wachstum aufstellen kannst und wie du mit diesen Formeln rechnest. Explizite Formel und Rekursionsformel im Vergleich überlagerung von exponentiellem und linearem Wachstum Explizite Formel und Rekursionsformel im Vergleich Die explizite Formel gibt an, wie der Wert der gleichmäßig schrittweise wachsenden Größe abhängig von der Anzahl […]

Wertetabellen und Funktionsgraphen

In diesen Erklärungen erfährst du, welcher Zusammenhang zwischen Wertetabellen und graphischen Darstellungen von linearen Funktionen besteht. Wertetabellen Von der Wertetabelle zur graphischen Darstellung Von der graphischen Darstellung zur Wertetabelle Wertetabellen und graphische Darstellung bei Sachaufgaben Wertetabellen Eine Funktion kann auf verschiedene Arten dargestellt werden.   Eine Möglichkeit ist die Wertetabelle.   Eine Wertetabelle hat zwei […]

Winkel im Bogenmaß

Winkel in Bogenmaß Umrechnen zwischen Grad- und Bogenmaß Winkel über 2π und negative Winkel Winkel in Bogenmaß Zu jedem Mittelpunktswinkel am Einheitskreis gehört ein Kreisbogen auf dem Einheitskreis.   Die Länge des Kreisbogens ist ein Maß für die Größe des Winkels. Dieses wir als Bogenmaß bezeichnet und trägt die Einheit „ Radiant “ , abgekürzt […]

Wissen über lineare Funktionen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du dein Wissen über lineare Funktionen geschickt nutzen kannst, um den Wahrheitsgehalt von Aussagen zu überprüfen oder um Punkte unter bestimmten Bedingungen im Koordinatensystem zu finden. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Steigung Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Der Graph einer linearen Funktion f mit der Funktionsgleichung y = m x + […]

Wissen über lineare Gleichungssysteme

Hier erfährst du, unter welchen Bedingungen es sinnvoll ist, ein lineares Gleichungssystem zeichnerisch zu lösen und wie du beim rechnerischen Lösen das Additions-, Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren geschickt verwenden kannst. Auswahl eines günstigen Verfahrens zum Lösen eines linearen Gleichungssystems Knobelaufgaben zu linearen Gleichungssystemen Auswahl eines günstigen Verfahrens zum Lösen eines linearen Gleichungssystems Jedes lineare Gleichungssystem mit […]

Zehnerpotenzen – Wissenschaftliche Schreibweise großer und kleiner Zahlen

Zehnerpotenzen Wissenschaftliche Schreibweise Zehnerpotenzen Potenzen mit der Basis 10 heißen Zehnerpotenzen . Der Exponent gibt die Anzahl der Nullen an, die du benötigst, um die Potenz als natürliche Zahl bzw. als Dezimalzahl zu schreiben.   10 n = 1 0 . . . 0 ⏟ n Nullen 10 – n = 0,0 . . . […]

Zinseszins

Feste Verzinsung und Zinseszins Rendite bei variablem Zinssatz Feste Verzinsung und Zinseszins Von Zinseszins spricht man, wenn ein Geldbetrag (das Kapital) verzinst wird und die anfallenden Zinsen nach ihrer Gutschrift mit verzinst werden.   Wird ein Kapital mit einem festen Zinssatz von p % p.a. und Zinseszins angelegt, so wächst das Kapital exponentiell und jährlich […]