Die Winkelfunktion Tangens

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Vom Einheitskreis zur Winkelfunktion

Die Bezeichnung “Tangens” ergibt sich aus dem Begriff Tangente.
 
kem Tri TriWiGTanF 1 Die Winkelfunktion Tangens
 
Der Tangens entspricht der Länge der pinken Strecke, die auf der Tangente des Einheitskreises im Punkt 1 | 0 liegt.
 
Mit Hilfe des zweiten Strahlensatzes kannst du dir die Definition des Tangens herleiten:
 
sin α cos α = tan α 1
 
Also:
 
tan α = sin α cos α
 
Beachte aber: Es ist üblich, für das Argument einer Funktion die Variable x zu verwenden.

Der Graph der Tangensfunktion

Die Tangensfunktion ist definiert durch
 
tan x = sin x cos x .
 
Der Graph lässt sich sowohl für Argumente im Gradmaß als auch im Bogenmaß zeichnen.
 
kem Tri TriWiGTanF 2 Die Winkelfunktion Tangens
 
Eigenschaften:
 
Die Tangensfunktion
 
kem Tri TriWiGTanF 3 Die Winkelfunktion Tangens

Periodizität

Die Tangensfunktion ist periodisch mit der Periode π . Sie “erbt” diese Eigenschaft von der Sinus- und der Kosinusfunktion.
 
kem Tri TriWiGTanF 4 Die Winkelfunktion Tangens
 
Damit kannst du die gesamte Lösungsmenge der Gleichung tan x = c angeben, wenn du eine Lösung kennst.
tan x = 1
 
Lösungen im Intervall - π ; π : x 1 = 1 4 π x 2 = x 1 - π = - 3 4 π

Symmetrien von Tangens

Die Tangensfunktion ist ungerade . Das heißt:
 
tan - x = sin - x cos - x = - sin x cos x = - tan x und der Graph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung .
 
kem Tri TriWiGTanF 5 Die Winkelfunktion Tangens

Trigonometrische Gleichungen lösen

Die Periodizität der Tangensfunktion kann dir helfen Gleichungen der Form
 
tan x = c
 
zu lösen.
 
Da der Wertebereich der Tangensfunktion ℝ ist und die Funktion in jeder Periode alle Werte annimmt, gibt es in jedem Intervall der Länge π eine Lösung dieser Gleichung.
 
kem Tri TriWiGTanF 6 Die Winkelfunktion Tangens
 
Mit der Taste kem Tri TriWiGTanF 7 Die Winkelfunktion Tangens des Taschenrechners erhältst du stets Werte im Intervall -90 ° ; 90 ° ( DEG Modus ) bzw. im Intervall - 1 2 π ; 1 2 π ( RAD Modus ).
 
Für alle anderen Lösungen addierst du ganzzahlige Vielfache von π zum gefundenen Wert so, dass das Ergebnis im vorgegebenen Intervall liegt.
tan x = 7.95
 
Lösungen im Intervall 5 2 π ; 9 2 π :
 
Der Taschenrechner zeigt x’ 1.45 < 1 2 π
 
Also: x 1 = x’ + 3 π 10.87 und x 2 = x’ + 4 π 14.01