Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus

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Vom Einheitskreis zur Winkelfunktion

Die Bezeichnung „Sinus“ ist lateinisch und bedeutet Bogen.
 
Bewegst du einen Punkt P auf dem Einheitskreis gegen den Uhrzeigersinn und trägst zu jedem Drehwinkel α die y-Koordinate des Punktes P in ein Koordinatensystem ein, erhältst du den Graphen der Sinusfunktion sin: α kem Tri TriWiGWiSuK 1 Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus sin α
 
Trägst du die x-Koordinate ein, erhältst du den Graphen der Kosinusfunktion cos: α kem Tri TriWiGWiSuK 2 Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus cos α
 
Beachte aber: Es ist üblich, für das Argument einer Funktion die Variable x zu verwenden.
 
Zu einem Winkel α (in Grad oder Bogenmaß) gehört dann ein Punkt P auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten cos α | sin α und je ein Punkt auf den Graphen der Sinus- bzw. Kosinusfunktion: Q α | sin α ) und R α | cos α .
 
kem Tri TriWiGWiSuK 3 Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinuskem Tri TriWiGWiSuK 4 Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus

Der Graph der Sinusfunktion

Der Graph der Sinusfunktion lässt sich sowohl für Argumente im Gradmaß als auch im Bogenmaß zeichnen.
 
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Eigenschaften der Sinusfunktion
 
Die Sinusfunktionkem Tri TriWiGWiSuK 6 Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus
 
Im Intervall 0 ; 360 ° bzw. 0 ; 2 π gilt: die Sinusfunktionkem Tri TriWiGWiSuK 7 Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus
 
Der Graph hat im Intervall 0 ; 360 ° bzw. 0 ; 2 π kem Tri TriWiGWiSuK 8 Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus

Der Graph der Kosinusfunktion

Der Graph der Kosinusfunktion lässt sich sowohl für Argumente im Gradmaß als auch im Bogenmaß zeichnen.
 
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Eigenschaften der Kosinusfunktion
 
Die Kosinusfunktionkem Tri TriWiGWiSuK 10 Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus
 
Im Intervall 0 ; 360 ° bzw. 0 ; 2 π gilt: die Kosinusfunktionkem Tri TriWiGWiSuK 11 Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus
 
Der Graph hat im Intervall 0 ; 360 ° bzw. 0 ; 2 π kem Tri TriWiGWiSuK 12 Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus

Periodizität

Die Winkelfunktionen sind periodisch. Das heißt, die Funktionswerte wiederholen sich in regelmäßigen Abständen.
 
Eine periodische Funktion erkennst du am regelmäßigen Verlauf ihres Graphen.
Ist eine Funktion f periodisch, dann gibt es eine kleinste positive reelle Zahl a so, dass für alle ganzen Zahlen k gilt:
 
f x = f x + ka . Die Zahl a wird dann die Periode der Funktion f genannt.
Verschiebst du den Graphen der Funktion f um den Wert a entlang der x-Achse nach rechts oder links, fällt der verschobene Graph mit dem ursprünglichen zusammen.
 
Für die Winkelfunktionen ist die Periode a = 2 π .Für die Funktionswerte heißt das:
 
Für alle reellen Zahlen x gilt: sin x + 2 π = sin x cos x + 2 π = cos x .
 
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Symmetrien von Sinus und Kosinus

Die Sinusfunktion ist eine ungerade Funktion , d.h., für alle reellen Zahlen x gilt:
 
sin - x = - sin x .
 
Der Graph einer ungeraden Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung 0 | 0 .
 
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Die Kosinusfunktion ist eine gerade Funktion , d.h., für alle reellen Zahlen x gilt:
 
cos - x = cos x .
 
Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur y-Achse.
 
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Trigonometrische Gleichungen lösen

Um trigonometrische Gleichungen wie z.B. sin x = a oder cos x = b zu lösen, kannst du die Symmetrien und die Periodizität der Winkelfunktionen nutzen.
 
Denn, wenn du die Lösungen einer Gleichung im Intervall - π ; π kennst, kennst du alle Lösungen für den gesamten Definitionsbereich.
sin x = 0.5
 
Lösungen im Intervall - π ; π : x 1 = 1 6 π ; x 2 = 5 6 π
 
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Die Periode ist 2 π , also findest du alle anderen Lösungen, indem du auf die bereits gefundenen Lösungen ganzzahlige Vielfache von 2 π addierst.
 
Da du nicht alle Lösungen einzeln aufschreiben kannst, fasst du sie in der Lösungsmenge zusammen:
 
L = x | x = 1 6 π + 2 k π oder x = 5 6 π + 2 k π ; k
Lies: L ist die Menge aller x aus ℝ mit x = 1 6 π + 2 k π oder 5 6 π + 2 k π und k aus ℤ.
cos x = 0.5
 
Lösungen im Intervall - π ; π : x 1 = 1 3 π ; x 2 = - 1 3 π
 
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L = x | x = 1 3 π + 2 k π oder x = - 1 3 π + 2 k π ; k
Wegen der Achsensymmetrie des Graphen (der Kosinus ist eine gerade Funktion) gilt für alle x im Intervall - π ; π : cos x = cos - x .