Elementare Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens und besondere Winkel

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Hier erfährst du, welche Zusammenhänge zwischen den Winkeln in einem rechtwinkligen Dreieck bestehen und wie du diese ausnutzen kannst um andere Größen des Dreiecks zu berechnen.

Elementare Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus

In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem rechten Winkel im Punkt C gilt:
Merksatz 1:
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Merksatz 2:
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Die Gegenkathete des Winkels α ist die Ankathete des Winkels β.
 
Aus der Innenwinkelsumme im Dreieck ( α + β + γ = 180 °) folgt für ein rechtwinkliges Dreieck mit γ = 90 °:
 
α + β = 90 °
 
Also:
 
β = 90 ° - α
 
und damit:
 
sin 90 ° - α = cos α
 
und
 
cos 90 ° - α = sin α
 
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Das gilt auch, wenn du α und β vertauschst.Natürlich kannst du auch den Taschenrechner verwenden.Du berechnest den Sinus von 24 ° und verwendest dann die Taste cos -1 : β = cos -1 sin 24 °

sin²(α) + cos²(α) = 1

Es gibt einen weiteren wichtigen Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus eines Winkels:
Merksatz 3:
Für jeden spitzen Winkel α gilt:
 
sin 2 α + cos 2 α = 1
 
(dabei ist sin 2 α = sin α 2 und cos 2 α = cos α 2 )
Das lässt sich an einem rechtwinkligen Dreieck schnell herleiten:
 
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Satz des Pythagoras:
 
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Wähle einen beliebigen Winkel α und überprüfe die Gleichheit mit deinem Taschenrechner.
 
Mit Hilfe dieser Beziehung kannst du ohne Taschenrechner zu jedem Winkel den Sinus aus dem Kosinus oder den Kosinus aus dem Sinus bestimmen.
Wenn sin α = 0.6 , dann cos α = 0.8 .
 
Du stellst
 
sin 2 α + cos 2 α = 1
 
nach cos α um:
 
cos 2 α = 1 - sin 2 α
 
Also:
 
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Der Tangens als Quotient aus Sinus und Kosinus

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Merksatz 4:
In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90 ° gilt:
 
tan α = sin α cos α
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Wenn sin α = 0.6 , dann tan α = 0.75 .
 
Du ersetzt in
 
tan α = sin α cos α
 
cos α durch 1 - sin 2 α
 
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Der Tangens, Sinus und Kosinus von 45°, 30° und 60°

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Zu einigen Winkeln ergeben sich Werte für Sinus, Kosinus und Tangens, die du dir leicht merken kannst.
 
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