Funktionen und ihre Darstellungen

Anwendungen von Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen mit prozentualer Zu- oder Abnahme Von der Verdopplungszeit zur Exponentialfunktion Von der Halbwertszeit zur Exponentialfunktion Exponentialfunktion aus Wertepaaren modellieren Exponentialfunktionen mit prozentualer Zu- oder Abnahme Nimmt eine Größe G ausgehend vom Anfangswert G 0 pro Schritt um p % zu bzw. ab, so kann ihr Wert in Abhängigkeit von der Anzahl x der Schritte […]

Anwendungen zum Lösen von Exponentialgleichungen

Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Logarithmische Einteilung Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Wird zu einem Wachstumsprozess danach gefragt, nach wie vielen Schritten (nach welcher Zeit) ein bestimmter Wert oder Anteil erreicht wird, kannst du die gesuchte Größe ermitteln, indem du eine Exponentialgleichung der Form G x = G 0 * b x aufstellst […]

Beispiele für Funktionen

Hier kannst du wichtige Beispiele für Funktionen kennenlernen. Proportionale und antiproportionale Zuordnungen als Funktionen Lineare Funktionen kennenlernen Lineare, antiproportionale und quadratische Funktionen im Vergleich Definitionslücken bei Funktionstermen Nullstellen bestimmen Proportionale und antiproportionale Zuordnungen als Funktionen Proportionale Zuordnungen sind spezielle Funktionen.   Die Zuordnungsvorschrift jeder proportionalen Zuordnung lässt sich immer in der Form   x m […]

Besondere Punkte linearer Funktionen

Hier erfährst du, welche besonderen Punkte eine lineare Funktion hat, wie du sie bestimmst und welche Bedeutung diese Punkte in Sachsituationen haben. Schnittpunkte der Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen Berechnen der Nullstelle Bestimmen des y-Achsenabschnitts Berechnen des y-Achsenabschnitts Bedeutung der Achsenabschnitte in Sachsituationen Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen Schnittpunkte der Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen Jeder Funktionsgraph, der nicht […]

Bruchgleichungen lösen und darstellen

Hier erfährst du, wie du Bruchgleichungen durch Probieren, graphisch oder durch Umformungen lösen kannst.Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung die Bruchterme enthält.   Da Bruchgleichungen nicht für alle Zahlen definiert sein müssen, bestimmst du den maximalen Definitionsbereich aller Bruchterme und versicherst dich, dass jeder berechnete Wert für die unbekannte Variable im Definitionsbereich jedes Bruchterms enthalten ist. […]

Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen

Hier erfährst du, welche Eigenschaften gebrochen-rationale Funktion haben, wie du ihren Definitionsbereich bestimmen und ihren Graphen erkennen kannst.   Außerdem wird dir gezeigt, wie du den Graphen einer Funktion mit der Funktionsgleichung vom Typ y = a x + c + d zeichnen kannst. Beispiele Definitionslücken und Definitionsbereiche bestimmen Waagerechte und senkrechte Asymptoten bestimmen Einfluss […]

Eigenschaften linearer Funktionen

In diesen Erklärungen erfährst du, welche Eigenschaften lineare Funktionen haben und wie du sie anhand ihrer graphischen Darstellung oder der Funktionsgleichung erkennen kannst. Die Gerade als Graph einer linearen Funktion Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion Einfluss der Parameter m und b und Spezialfälle Das Steigungsverhalten des Graphen einer linearen Funktion Geradengleichungen in Normalform und in […]

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Eigenschaften der Exponentialfunktion Die allgemeine Exponentialfunktion Verschiebung in y-Richtung Verschiebung in x-Richtung Eigenschaften der Exponentialfunktion Der Graph einer Exponentialfunktion y = b x mit b gt 0 , b ≠ 1 enthält die Punkte 0 | 1 und 1 | b .   Du kannst also den Funktionsterm einer Exponentialfunktion schnell mit Hilfe des Graphen […]

Eigenschaften von Potenzfunktionen

Symmetrien bei Potenzfunktionen Monotonie von Potenzfunktionen Krümmung bei Potenzfunktionen Symmetrien bei Potenzfunktionen Allgemeine Potenzfunktionen mit geradem Grad sind gerade Funktionen, allgemeine Potenzfunktionen mit ungeradem Grad sind ungerade Funktionen. Eine allgemeine Potenzfunktion f mit geradem Grad ist eine gerade Funktion .   Es gilt f x = f – x für alle reellen Zahlen x.   […]

Einfache quadratische Gleichungen lösen

Lösung einer quadratischen Gleichung Reinquadratische Gleichungen lösen Quadratische Gleichungen mit Binom lösen Lösen durch Ausklammern Lösung einer quadratischen Gleichung Eine quadratische Gleichung der Form x 2 = a mit a gt 0 hat immer 2 Lösungen. Eine Zahl x ist dann Lösung einer Gleichung, wenn durch Einsetzen der Zahl x die Gleichung zu einer wahren […]

Einführung in quadratische Funktionen

Funktionsterm und Graph einer quadratischen Funktion Besondere Punkte von quadratischen Funktionen Symmetrieeigenschaften der Parabel Definitionsbereich und Wertebereich einer quadratischen Funktion Funktionsterm und Graph einer quadratischen Funktion Funktionen, die sich mit Termen der Form   f x = a x 2 + b x + c mit a ≠ 0   darstellen lassen, heißen quadratische Funktionen. […]

Exponentielles Wachstum

Berechnen des Wachstumsfaktors aus einer Angabe in Prozent Berechnungen zum exponentiellen Wachstum Berechnungen mit Anteilen von Wachstumsschritten Berechnen des Wachstumsfaktors aus einer Angabe in Prozent Aus einer Prozentangabe kannst du den Wachstumsfaktor b bestimmen:   Eine Zunahme um 25 % entspricht einem Wachstumsfaktor     Wächst eine Bakterienpopulation von anfangs 200 Bakterien stündlich um 25 […]

Funktionsgleichung bestimmen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Funktionsgleichungen zu linearen Funktionen aufstellen kannst. Funktionsgleichungen aufstellen durch Ablesen am Graphen Funktionsgleichungen aufstellen zur Berechnung besonderer Punkte Funktionsgleichungen mit Punkt und Steigung bestimmen Funktionsgleichungen mit Hilfe von zwei Punkten bestimmen Funktionsgleichungen aufstellen durch Ablesen am Graphen Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Gleichung hat […]

Funktionsgraph zeichnen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du die Graphen linearer Funktionen zeichnen kannst. Graphen zeichnen, wenn zwei Punkte gegeben sind Graphen zeichnen, wenn ein Punkt und die Steigung gegeben sind Graphen zeichnen, wenn die Geradengleichung gegeben ist Graphen zeichnen, wenn zwei Punkte gegeben sind Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.Zum Zeichnen einer Geraden […]

Funktionsgraphen verstehen

Hier erfährst du, wie du Funktionsgraphen interpretieren und dadurch nützliche Informationen aus ihnen ablesen kannst. Aus Funktionsgraphen Wertepaare ablesen Definitions- und Wertebereich am Funktionsgraphen erkennen Besondere Punkte auf dem Funktionsgraphen Monotonie-Intervalle Funktionsgraphen und Prozesse Aus Funktionsgraphen Wertepaare ablesen Das ist der Funktionsgraph der Funktion f(x) = x 2 – 8 .     Der Graph […]

Grundbegriffe zu Funktionen

Hier erfährst du, was eine Funktion ist und wie du sie beschreiben und darstellen kannst. Zuordnungen und Funktionen Begriffe und Symbole bei Funktionen Graphen von Zuordnungen und Funktionen Zuordnungen und Funktionen Zuordnungen spielen im täglichen Leben, in den Naturwissenschaften und natürlich in der Mathematik eine sehr wichtige Rolle. Eine Zuordnung ist eine Beziehung, die – […]

Grundlagen zu linearem und exponentiellem Wachstum

Lineares und exponentielles Wachstum im Vergleich Lineares und exponentielles Wachstum im Vergleich Beim Wachstum einer Größe ist oft von Interesse, welche Werte diese Größe nach einer bestimmten Anzahl von gleichbleibenden Schritten – oft Zeitschritten – annimmt.Ein Zeitschritt kann je nach Sachzusammenhang (z. B. Bakterienwachstum oder radioaktiver Zerfall) wenige Sekunden oder viele Jahre dauern. Lineares Wachstum […]

Grundlagen zu Potenzfunktionen

Hier erfährst du, was eine Potenzfunktion ist, und lernst die wichtigsten Grundlagen zu Potenzfunktion mit natürlichen Exponenten kennen. Was ist eine Potenzfunktion? Charakteristische Graphen von Potenzfunktionen Bedeutung des Koeffizienten im Term von Potenzfunktionen Was ist eine Potenzfunktion? Eine Potenzfunktion f (mit natürlichem Exponenten) ist eine Funktion mit einem Funktionsterm der Form f x = x […]

Lagebeziehungen von Geraden

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du anhand der Geradengleichungen entscheiden kannst, welche Lagebeziehung zwei Geraden zueinander haben. Parallele Geraden Senkrechte Geraden Spiegeln von Geraden an den Koordinatenachsen Lagebeziehungen zweier Geraden ermitteln Parallele Geraden Parallele Geraden haben keinen Schnittpunkt. Der Abstand zweier paralleler Geraden ist überall gleich, denn parallele Geraden haben dieselbe Steigung.   Zeichne […]

Logarithmen kennenlernen

Der Logarithmus als Lösung einer Exponentialgleichung Dekadischer Logarithmus Basiswechsel Der Logarithmus als Lösung einer Exponentialgleichung „ Logarithmus “ ist das griechische Wort für „ Exponent “ .   Für eine positive Zahl b und eine reelle Zahl a ist der Logarithmus die Antwort auf: „ b hoch was ist a ? “ , also die […]

Lösen von Exponentialgleichungen

Lösen durch Exponentenvergleich Lösen durch Logarithmieren Lösen durch Exponentenvergleich Einfache Exponentialgleichungen kannst du im Kopf lösen, wenn du auf beiden Seiten der Gleichung Potenzen mit derselben Basis hast. Manchmal ist das offensichtlich, manchmal benötigst du eine einfache Umformung. Linke Seite vereinfachen:     Also:     Exponentenvergleich ergibt:   x = 2 Du schreibst beide […]

Mit der abc-Formel quadratische Gleichungen lösen

Herleitung der abc-Formel Anzahl der Lösungen mit der Diskriminante bestimmen Lösen quadratischer Gleichungen Herleitung der abc-Formel Lösungsformel für eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form a x 2 + b x + c = 0   abc-Formel: – b ± b 2 – 4 a c 2 a Die abc-Formel entsteht aus der quadratischen Gleichung in […]

Mit der p/q-Formel quadratische Gleichungen lösen

Herleitung der pq-Formel Lösen quadratischer Gleichungen Anzahl der Lösungen mit der Diskriminante bestimmen Satz von Vieta Herleitung des Satzes von Vieta Herleitung der pq-Formel Lösungsformel für eine quadratische Gleichung in Normalform x 2 + p x + q = 0   pq-Formel: x 1/2 = – p 2 ± p 2 2 – q   […]

Mit der quadratischen Ergänzung quadratische Gleichungen lösen

Gleichungen lösen mit der quadratischen Ergänzung Gleichungen lösen mit der quadratischen Ergänzung Quadratischen Gleichungen der Form x 2 + p x + q = 0 kannst du lösen, indem du den Term x 2 + p x quadratisch ergänzt.   Addierst du den Term p 2 2 , entsteht durch Anwenden der binomischen Formeln der […]

Nullstellen- und Schnittpunktberechnungen

Nullstellen einer Parabel Nullstellen berechnen Anzahl der Nullstellen anhand der Diskriminante bestimmen Schnittpunkte zweier Graphen Anzahl der Schnittpunkte zweier Parabeln Nullstellen einer Parabel Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die die Funktion den Wert null annimmt. An einer Nullstelle x 0 gilt also f x 0 = 0 .   An einer […]

Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen

Faktorisierte Form quadratischer Gleichungen lösen Quadratische Gleichungen mittels Faktorisierung lösen – Differenz von Quadraten Quadratische Gleichungen mittels Faktorisierung lösen – Vollständiges Quadrat Faktorisierte Form quadratischer Gleichungen lösen   Ist die linke Seite einer quadratischen Gleichung in faktorisierter Form dargestellt, kannst du die Lösungsmenge L der Gleichung bestimmen, indem du jeden Faktor gleich null setzt und […]

Rechnen mit Bruchtermen

Hier erfährst du, wie du Bruchterme kürzen, erweitern, addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kannst. Mit Bruchtermen rechnest du genauso wie mit Brüchen, nur dass hier auch Variablen vorkommen.   Außerdem wird dir gezeigt, wie du einen Definitionsbereich bestimmen kannst, auf dem die Bruchterme vor und nach der Umformung äquivalent sind, denn beim Umformen eines Bruchterms […]

Rechnen mit Logarithmen

Logarithmengesetze Logarithmen von Termen oder Terme mit Logarithmen zusammenfassen Logarithmengesetze Aus den Potenzgesetzen ergeben sich Gesetze für das Rechnen mit Logarithmen: log b u * v = log b u + log b v   log b u v = log b u – log b v   log b u r = r * […]

Rechnerische Bestimmung der Scheitelpunktform

Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform Von der faktorisierten Form zur Scheitelpunktform Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform Mit der quadratischen Ergänzung bringst du den Funktionsterm f x = a x 2 + b x + c in die Scheitelpunktform f x = a x – d 2 + e .   a = 1 […]

Scheitelpunktform: Parabeln verschieben, strecken und stauchen

Verschiebung entlang der y-Achse Verschiebung entlang der x-Achse Streckung, Stauchung und öffnung Scheitelpunktform Verschiebung entlang der y-Achse Addierst du zum Funktionsterm der Funktion f mit f x = x 2 eine Konstante e, dann ist der Graph der neuen Funktion   g x = x 2 + e   eine entlang der y-Achse verschobene Normalparabel. […]

Steigung linearer Funktionen

Hier erfährst du, welche Bedeutung die Steigung einer linearen Funktion hat, wie du sie am Funktionsgraphen ablesen und wie du sie berechnen kannst. Bedeutung der Steigung Betrag der Steigung Das Steigungsdreieck Steigung an einer Geraden ablesen Gerade mit vorgegebener Steigung zeichnen Bedeutung der Steigung in Sachsituationen Berechnung der Steigung Bedeutung der Steigung Die Gleichung einer […]

Wachstum und Rekursion

Hier erfährst du, wie du Rekursionsformeln für exponentielles und lineares Wachstum aufstellen kannst und wie du mit diesen Formeln rechnest. Explizite Formel und Rekursionsformel im Vergleich überlagerung von exponentiellem und linearem Wachstum Explizite Formel und Rekursionsformel im Vergleich Die explizite Formel gibt an, wie der Wert der gleichmäßig schrittweise wachsenden Größe abhängig von der Anzahl […]

Wertetabellen und Funktionsgraphen

In diesen Erklärungen erfährst du, welcher Zusammenhang zwischen Wertetabellen und graphischen Darstellungen von linearen Funktionen besteht. Wertetabellen Von der Wertetabelle zur graphischen Darstellung Von der graphischen Darstellung zur Wertetabelle Wertetabellen und graphische Darstellung bei Sachaufgaben Wertetabellen Eine Funktion kann auf verschiedene Arten dargestellt werden.   Eine Möglichkeit ist die Wertetabelle.   Eine Wertetabelle hat zwei […]

Wissen über lineare Funktionen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du dein Wissen über lineare Funktionen geschickt nutzen kannst, um den Wahrheitsgehalt von Aussagen zu überprüfen oder um Punkte unter bestimmten Bedingungen im Koordinatensystem zu finden. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Steigung Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Der Graph einer linearen Funktion f mit der Funktionsgleichung y = m x + […]

Zinseszins

Feste Verzinsung und Zinseszins Rendite bei variablem Zinssatz Feste Verzinsung und Zinseszins Von Zinseszins spricht man, wenn ein Geldbetrag (das Kapital) verzinst wird und die anfallenden Zinsen nach ihrer Gutschrift mit verzinst werden.   Wird ein Kapital mit einem festen Zinssatz von p % p.a. und Zinseszins angelegt, so wächst das Kapital exponentiell und jährlich […]