Multiplikation und Ausklammern bei Termen mit Potenzen

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In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Terme mit Potenzen mit Hilfe der Potenzgesetze multiplizieren kannst.
 
kem T TPotMul 1 Multiplikation und Ausklammern bei Termen mit Potenzen
 
Weiterhin erfährst du, wie du Terme mit Potenzen durch Ausklammern gemeinsamer Faktoren in ein Produkt umwandeln kannst.

Multiplikation von Termen mit gleichen Basen

Wenn du Potenzen mit gleichen Basen miteinander multiplizieren möchtest, kannst du die folgende Regel verwenden:
 
x n * x m = x n + m bzw. x k * x n * x m = x k + n + m
 
Du verwendest hier das Assoziativgesetz der Multiplikation:
 
kem T TPotMul 2 Multiplikation und Ausklammern bei Termen mit Potenzen
 
x n * x m ergibt also ein Produkt, in dem der Faktor x (n + m)-mal vorkommt.
Potenzen mit gleichen Basen werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert und die Basis beibehält.
Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
Vereinfache x 5 * x 2
Vereinfache
kem T TPotMul 3 Multiplikation und Ausklammern bei Termen mit Potenzen
= x 5 + 2 = x 7

Multiplikation von Termen mit gleichen Exponenten

Wenn du Potenzen mit gleichen Exponenten miteinander multiplizieren möchtest, kannst du die folgende Regel verwenden:
 
x n * y n = x y n bzw. x n * y n * z n = x y z n
 
Du verwendest hier das Kommutativgesetz der Multiplikation:
 
kem T TPotMul 4 Multiplikation und Ausklammern bei Termen mit Potenzen
Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
Vereinfache x 6 * y 6
Vereinfache
kem T TPotMul 5 Multiplikation und Ausklammern bei Termen mit Potenzen
= x y 6

Anwenden der Potenzgesetze bei Termen

Häufig musst du die Potenzgesetze bei der Multiplikation von Termen anwenden.
Vereinfache den Term. 2 x 5 * 3 x 2 y 3
Sortieren
Alle Koeffizienten (Zahlen) sind zusammengefasst worden.Gleiche Variablen stehen jetzt nebeneinander.
= 2 * 3 * x 5 * x 2 * y 3
Zusammenfassen
kem T TPotMul 6 Multiplikation und Ausklammern bei Termen mit Potenzen
= 6 x 7 y 3
Vereinfache den Term. 4 x 7 * 2 a 3 * 3 y 7 * b 3
Sortieren
Alle Koeffizienten (Zahlen) sind zusammengefasst worden.Variablen mit gleichen Exponenten stehen jetzt nebeneinander.
= 4 * 3 * 2 * a 3 * b 3 * x 7 * y 7
Zusammenfassen
kem T TPotMul 7 Multiplikation und Ausklammern bei Termen mit Potenzen
= 24 a b 3 x y 7

Potenzieren von Potenzen

Du kannst Potenzen nochmals potenzieren. Du wendest dabei die folgenden Regeln an:
 
x n m = x n * m x n y m k = x n * k y m * k
 
Die Regeln gelten wieder auf Grund des Assoziativgesetzes der Multiplikation.
Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.
Rechne aus. x 3 2
Potenzieren
kem T TPotMul 8 Multiplikation und Ausklammern bei Termen mit Potenzen
= x 3 * 2 = x 6
Rechne aus. 3 x 3 y 2 4
Potenzieren
kem T TPotMul 9 Multiplikation und Ausklammern bei Termen mit Potenzen
= 3 4 * x 3 * 4 * y 2 * 4 = 81 x 12 y 8

Ausklammern in Termen mit Potenzen

Du kannst Koeffizienten (Zahlen) ausklammern, einzelne Variablen oder sogar ganze Terme, die als gemeinsame Faktoren in den Summanden vorkommen.
 
Um einen Koeffizienten ausklammern zu können, muss dieser als Faktor (d.h. als Teiler) unter allen Koeffizienten im Term vorkommen. Du kannst also stets den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aller Koeffizienten ausklammern.
Klammere den größtmöglichen Faktor aus. 9 x + 12 y
Ausklammern
Der größte gemeinsame Teiler von 9 und 12 ist 3. 9 x / 3 = 3 x 12 y / 3 = 4 y
kem T TPotMul 10 Multiplikation und Ausklammern bei Termen mit Potenzen
Klammere so weit aus wie möglich. 4 x 2 + 12 x y - 10 y z 2 + 2
Ausklammern
Du kannst auch bei mehr als zwei Summanden ausklammern. Hier wurde bei allen vier Summanden der Faktor 2 ausgeklammert.Du erhältst die Terme in der Klammer, indem du jeden einzelnen Summanden des ursprünglichen Ausdrucks durch 2 dividierst.kem T TPotMul 11 Multiplikation und Ausklammern bei Termen mit Potenzen
kem T TPotMul 12 Multiplikation und Ausklammern bei Termen mit Potenzen
Du kannst Koeffizienten und Variablen zusammen ausklammern, wenn der ausgeklammerte Term ein Teiler aller Summanden des ursprünglichen Terms ist.
Klammere so weit aus wie möglich. 3 x 2 - 6 x y
Ausklammern
3 x 2 und -6xy enthalten beide die Faktoren 3 und x. Diese kannst du ausklammern.
 
kem T TPotMul 13 Multiplikation und Ausklammern bei Termen mit Potenzen
3 x x - 2 y
Klammere so weit aus wie möglich. 6 x 2 + 12 x 3 y - 14 x 2 z
Ausklammern
Hier wurde bei allen vier Summanden der Faktor 2 x 2 ausgeklammert.kem T TPotMul 14 Multiplikation und Ausklammern bei Termen mit Potenzen
kem T TPotMul 15 Multiplikation und Ausklammern bei Termen mit Potenzen