Quadratwurzel kennenlernen

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Hier lernst du die Quadratwurzel von Zahlen und Termen kennen und erfährst, wie du den Definitionsbereich eines Terms mit Wurzeln bestimmen kannst. Außerdem erfährst du, wie du Gleichungen der Form x 2 = r lösen kannst.

Quadratwurzel einer Zahl

Die Quadratwurzel (oder kurz Wurzel) einer positiven Zahl a ist die positive Zahl b mit b 2 = a . Sie wird mit a bezeichnet.
 
Die Quadratwurzel von 0 ist 0.
 
Die Zahl a unter dem Wurzelzeichen heißt auch Radikand, die Quadratwurzel b auch Radix. Beide sind immer größer oder gleich null.Es gilt zwar auch - b 2 = a , aber als Quadratwurzel von a wird nur die positive Zahl mit dieser Eigenschaft bezeichnet.Die Quadratwurzel des Quadrats einer positiven Zahl ist die Zahl selbst: a 2 = a
 
Zum Beispiel ist 5 die Quadratwurzel von 25: 25 = 5 da 5 gt 0 und 5 2 = 25 .5 ist die Quadratwurzel des Radikanden 25.
 
Für positive ganze Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, ist die Wurzel eine nichtperiodische Dezimalzahl mit unendlich vielen Stellen nach dem Komma.
 
Zum Beispiel: 17 = 4.123,105,62
a = b , wenn b gt 0 und b 2 = a
a 2 = a und a 2 = a für a 0
kem ReZ ReZRuIQWKl 1 Quadratwurzel kennenlernen
Das Berechnen der Wurzel heißt auch „Wurzelziehen“ oder „Radizieren“.
 
Im Bereich der positiven Zahlen sind Radizieren und Quadrieren Umkehroperationen.
 
9 = 3 , da 3 gt 0 und 3 2 = 9
 
144 = 12 , da 12 gt 0 und 12 2 = 144
 
0.25 = 0.5 , da 0.5 gt 0 und 0.5 2 = 0.25
 
0.0004 = 0.02 , da 0.02 gt 0 und 0.02 2 = 0.0004
 
1 81 = 1 9 , da 1 9 gt 0 und 1 9 2 = 1 81
Die Quadratwurzel einer Zahl A entspricht der Seitenlänge eines Quadrats mit dem Flächeninhalt A. Daher können die Zahl unter dem Wurzelzeichen und die Wurzel selbst nicht negativ sein.
 
kem ReZ ReZRuIQWKl 2 Quadratwurzel kennenlernen
Das grüne Quadrat hat einen Flächeninhalt von 36 cm² und eine Seitenlänge von 6 cm. Es gilt zwar auch -6 2 = 36 , aber da es keine negativen Längen gibt, ist -6 keine Wurzel aus 36. Das ist ein Grund, weshalb man negative Zahlen als Quadratwurzeln ausschließt.
49 2 = 49 2
Der Radikand 49 2 ist positiv. Du kannst die Wurzel aus 49 2 ziehen oder erst das Quadrat von 49 berechnen, das Ergebnis wird das gleiche sein.
 
49 2 = 2401 = 49
 
49 2 = 49 * 49 = 7 * 7 = 49
-7 2 = 49 = 7
-7 2 darfst du schreiben, da -7 2 positiv ist. Also ist der Radikand positiv.Dessen Wurzel ist aber nicht -7 , sondern
 
kem ReZ ReZRuIQWKl 3 Quadratwurzel kennenlernen

Quadratwurzel eines Terms

Du kannst auch von Termen die Quadratwurzel bestimmen. Dabei muss der Definitionsbereich für den Term so gewählt werden, dass der Radikand nicht negativ wird.
x 2 = x
Mit dem Betrag sicherst du, dass beide Seiten übereinstimmen, egal welchen x-Wert du einsetzt, das Ergebnis ist immer größer oder gleich null.
 
Also x 2 = x = x für x 0 ,
 
und x 2 = - x = x für x lt 0 .
x 2 = x
Forme den Term x + 8 2 so um, dass er keine Wurzel enthält.
 
x + 8 2 = x + 8
Da für alle x stets x + 8 2 0 gilt, kannst du die Wurzel ziehen.
 
Damit die Wurzel größer oder gleich null wird schreibst du Beträge: x + 8 2 = x + 8
 
Denn dann ist x + 8 2 = x + 8 = x + 8 für x -8 und x + 8 2 = - x + 8 = x + 8 für x < -8
Forme den Term x 2 - 6 x + 9 so um, dass er keine Wurzel enthält.
Radikand faktorisieren
x 2 - 6 x + 9 kannst du nach der zweiten binomischen Formel als Quadrat schreiben, denn x - 3 2 = x 2 - 6 x + 9
x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2
Term umformen
kem ReZ ReZRuIQWKl 4 Quadratwurzel kennenlernen
x 2 - 6 x + 9 = x - 3

Definitionsbereich bestimmen

Der Radikand einer Wurzel darf nicht negativ sein. Der maximale Definitionsbereich D besteht also aus allen positiven Zahlen und der Null. x ist definiert für alle x 0 .
Bestimme den Definitionsbereich D von - x .
Definitionsbereich bestimmen
- x 0 wenn x 0
D = { x ∈ ℝ | x 0}
Bestimme den Definitionsbereich D von 2 x - 3 .
Definitionsbereich bestimmen
kem ReZ ReZRuIQWKl 5 Quadratwurzel kennenlernen
D = { x ∈ ℝ | x 3 2 }
Bestimme den Definitionsbereich D von - x 2 .
Definitionsbereich bestimmen
Der Radikand ist positiv für alle Zahlen aus ℝ, denn das Quadrat einer reellen Zahl ist positiv.
D = ℝ

Gleichungen lösen

Für r > 0 hat die Gleichung x 2 = r die beiden Lösungen r und - r .
 
Für r < 0 hat die Gleichung x 2 = r keine Lösung.
 
Für r = 0 hat die Gleichung x 2 = r genau eine Lösung: x = 0 .
Die Gleichung x 2 = r hat in ℝzwei Lösungen wenn r > 0: x = r und x = - r .eine Lösung, wenn r = 0: x = 0 .keine Lösung, wenn r < 0.
Die Gleichung x 2 = 81 hat zwei Lösungen: x 1 = 9 und x 2 = -9 .
Probe: 9 2 = 81 -9 2 = 81
Die Gleichung x 2 = 13 hat zwei Lösungen: x 1 = 13 und x 2 = - 13 .
Probe: 13 2 = 13 - 13 2 = 13
Löse die Gleichung x 2 - 14 = 0 .
Gleichung nach x 2 umstellen
kem ReZ ReZRuIQWKl 6 Quadratwurzel kennenlernen
x 2 = 14
Lösungen bestimmen
x 1 = 14 und x 2 = - 14
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung x 2 + 9 = 0 .
Gleichung nach x 2 umstellen
kem ReZ ReZRuIQWKl 7 Quadratwurzel kennenlernen
x 2 = -9
Lösungen bestimmen
-9 < 0 also hat die Gleichung keine Lösung. Die Lösungsmenge ist die leere Menge, d.h. L = {}.
Die Gleichung hat keine Lösung.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung x 2 + 5 = 5 .
Gleichung nach x 2 umstellen
kem ReZ ReZRuIQWKl 8 Quadratwurzel kennenlernen
x 2 = 0
Lösungen bestimmen
x = 0