Rechengesetze für Wurzeln

Interaktive Mathebücher zum Üben & Testen

Die interaktiven Mathebücher von bettermaks gibt es für die Klassenstufen 4 bis 10. bettermarks bietet über 100.000 Aufgaben mit ausführlichen Erklärungen und Lösungswegen.

Kostenlos registrieren Einloggen

Hier erfährst du, wie du mit Wurzeln rechnest und welche Regeln du dabei beachten musst.Wurzeln, die irrationale Zahlen sind, können nur als Näherungswert berechnet werden. Deshalb ist das Ziel beim Umformen von Wurzeltermen, als Radikanden die kleinstmögliche natürliche Zahl zu erhalten und möglichst viele Wurzeln ganz zu entfernen.

Multiplizieren und dividieren

Mit Wurzeln kannst du rechnen wie mit anderen Zahlen auch.
 
Multiplikation einer Zahl mit einer WurzelWenn eine ganze Zahl und eine Wurzel miteinander multipliziert werden, wird üblicherweise das Multiplikationszeichen nicht geschrieben. 3 * 5 = 3 5
 
Multiplikation und Division zweier WurzelnDie Wurzel eines Produkts kannst du in das Produkt zweier Wurzeln umwandeln, ebenso kannst du die Wurzel eines Quotienten in den Quotienten zweier Wurzeln umwandeln.
 
Also:
Multiplikationsregel: a * b = a * b für a , b 0
Divisionsregel: a b = a b für a 0 und b > 0
kem ReZ ReZRmRgW 1 Rechengesetze für Wurzeln
kem ReZ ReZRmRgW 2 Rechengesetze für Wurzeln
kem ReZ ReZRmRgW 3 Rechengesetze für Wurzeln
Beim Multiplizieren zweier Binome mit Wurzeln gehst du genauso vor wie bei Binomen ohne Wurzel, du wendest das Distributivgesetz an.
Vereinfache: 1 - 2 1 + 18
Ausmultiplizieren und Zusammenfassen
kem ReZ ReZRmRgW 4 Rechengesetze für Wurzeln
1 - 2 1 + 18 = 18 - 2 - 5

Addieren und subtrahieren

Für das Addieren und Subtrahieren von Wurzeln gibt es keine Vereinfachungsregel. Beachte, dass stets
 
a + b a + b für a , b > 0
 
und
 
a - b a - b für a > b > 0 gilt.
Vergleiche 9 + 36 und 9 + 36 .
kem ReZ ReZRmRgW 5 Rechengesetze für Wurzeln
Du kannst auf Summen und Differenzen von Termen mit Wurzeln auch das Distributivgesetz anwenden und Wurzeln ausklammern.
 
a b + c b = a + c b a b - c b = a - c b
 
für a , b , c ∈ ℝ und b > 0.
8 5 + 7 5 = 15 5
kem ReZ ReZRmRgW 6 Rechengesetze für Wurzeln
6 3 + 6 + 7 1 + 3 = 13 3 + 1
kem ReZ ReZRmRgW 7 Rechengesetze für Wurzeln

Teilweise Wurzelziehen

Mit Hilfe der Rechengesetze kannst du teilweise Wurzeln ziehen. Das bedeutet, du zerlegst den Radikanden in ein Produkt aus Quadratzahlen und Zahlen, die keine Quadratzahlen sind. Mit der Multiplikationsregel zerlegst du die Wurzel des Produktes in ein Produkt aus Wurzeln. Die Wurzel der Quadratzahlen kannst du dann berechnen.
a 2 * b = a b für a , b 0
20 = 2 5
Du faktorisierst den Radikanden 20 = 4 * 5
 
4 ist eine Quadratzahl, also:
 
kem ReZ ReZRmRgW 8 Rechengesetze für Wurzeln
Ziehe teilweise die Wurzel aus 756.
Radikand faktorisieren
Um die größtmögliche Quadratzahl zu finden, zerlegst du 756 in Primfaktoren:
 
756 / 2 = 378 378 / 2 = 189 189 / 3 = 63 63 / 3 = 21 21 / 3 = 7
 
Also: 756 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 7
 
Du fasst jeweils eine gerade Anzahl gleicher Faktoren zu einer Potenz mit geradigem Exponenten zusammen: 756 = 2 2 * 3 2 * 3 * 7
 
Die Potenzen mit geradzahligen Exponenten kannst du zu einer Quadratzahl zusammenfassen:
 
kem ReZ ReZRmRgW 9 Rechengesetze für Wurzeln
756 = 36 * 21
Teilweise Wurzel ziehen
Du ziehst nun teilweise die Wurzel:
 
kem ReZ ReZRmRgW 10 Rechengesetze für Wurzeln
756 = 6 21
Umgekehrt kannst du auch eine Zahl der Form a b mit a , b 0 in eine Wurzel c umwandeln. Dafür schreibst du a als Wurzel ihres Quadrats und bringst dieses zusammen mit b unter die Wurzel.
 
kem ReZ ReZRmRgW 11 Rechengesetze für Wurzeln

Brüche mit Wurzeltermen im Nenner

Brüche, in deren Nenner eine Wurzel steht, kannst du durch geschicktes Erweitern des Bruches so umformen, dass der Nenner keine Wurzel mehr enthält.
 
kem ReZ ReZRmRgW 12 Rechengesetze für Wurzeln
1 5 = 5 5
kem ReZ ReZRmRgW 13 Rechengesetze für Wurzeln
Forme so um, dass der Nenner keine Wurzel mehr enthält.
Erweitern
kem ReZ ReZRmRgW 14 Rechengesetze für Wurzeln
8 2 = 8 2 2
8 und 2 kannst du kürzen.
8 2 2 = 4 2