Rechnen mit ganzen Zahlen

Interaktive Mathebücher zum Üben & Testen

Die interaktiven Mathebücher von bettermaks gibt es für die Klassenstufen 4 bis 10. bettermarks bietet über 100.000 Aufgaben mit ausführlichen Erklärungen und Lösungswegen.

Kostenlos registrieren Einloggen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du mit ganzen Zahlen addierst, subtrahierst, multiplizierst und dividierst.

Vorzeichen und Rechenzeichen

Eine ganze Zahl kann auch negativ sein.Um in Rechnungen Vor- und Rechenzeichen unterscheiden zu können, setzt man Klammern um die Zahl mit dem zugehörigen Vorzeichen.
 
kem GanZ GanZErarR 1 Rechnen mit ganzen Zahlen
Um die Schreibweise zu vereinfachen, verwendet man die Klammern oft nur, wenn Rechenzeichen und Vorzeichen aufeinandertreffen.
Statt + 7 + - 13 wird also + 7 + - 13 geschrieben.
 
Das Vorzeichen bei positiven Zahlen (+) wird ebenfalls häufig weggelassen, um die Schreibweise zu vereinfachen.
Statt + 7 + - 13 wird also 7 + - 13 geschrieben.
Statt - 3 + + 8 wird also - 3 + 8 geschrieben.
Weitere Beispiele zur Vereinfachung der Schreibweise:
Statt - 5 + - 12 wird also - 5 + - 12 geschrieben.
Statt + 11 - 8 wird also 11 - 8 geschrieben.

Ganze Zahlen addieren

Wenn du zu einer ganzen Zahl eine positive Zahl addierst, gehst du auf der Zahlengeraden so viele Schritte nach rechts, wie es der Betrag der Zahl vorgibt.
. + 6 + . + 8 = . + 14
kem GanZ GanZErarR 2 Rechnen mit ganzen Zahlen
-6 + . + 8 = . + 2
kem GanZ GanZErarR 3 Rechnen mit ganzen Zahlen
Wenn du zu einer ganzen Zahl eine negative Zahl addierst, gehst du auf der Zahlengeraden um den Betrag dieser Zahl nach links.
. + 6 + -8 = -2
kem GanZ GanZErarR 4 Rechnen mit ganzen Zahlen
-6 + -8 = -14
kem GanZ GanZErarR 5 Rechnen mit ganzen Zahlen

Ganze Zahlen subtrahieren

Die Subtraktion einer ganzen Zahl entspricht der Addition ihrer Gegenzahl.
 
Wenn du von einer ganzen Zahl eine positive Zahl subtrahierst, gehst du auf der Zahlengeraden nach links. Stellst du die Aufgabe vereinfacht dar, erkennst du, dass sie sich nicht von den dir bekannten Subtraktionsaufgaben unterscheidet.
kem GanZ GanZErarR 6 Rechnen mit ganzen Zahlen
kem GanZ GanZErarR 7 Rechnen mit ganzen Zahlen
 
. + 6 - . + 8 entspricht . + 6 + -8 Du gehst also 8 Schritte auf der Zahlengeraden nach links.
kem GanZ GanZErarR 8 Rechnen mit ganzen Zahlen
kem GanZ GanZErarR 9 Rechnen mit ganzen Zahlen
 
-6 - . + 8 entspricht -6 + -8 Du gehst also 8 Schritte auf der Zahlengeraden nach links.
Wenn du von einer ganzen Zahl eine negative Zahl subtrahierst, gehst du auf der Zahlengeraden nach rechts.
kem GanZ GanZErarR 10 Rechnen mit ganzen Zahlen
kem GanZ GanZErarR 11 Rechnen mit ganzen Zahlen
 
. + 6 - -8 entspricht . + 6 + . + 8 Du gehst also 8 Schritte auf der Zahlengeraden nach rechts.
kem GanZ GanZErarR 12 Rechnen mit ganzen Zahlen
kem GanZ GanZErarR 13 Rechnen mit ganzen Zahlen
 
. + 6 - -8 entspricht . + 6 + . + 8 Du gehst also 8 Schritte auf der Zahlengeraden nach rechts.

Ganze Zahlen multiplizieren

Wenn du zwei positive ganze Zahlen miteinander multiplizierst, dann kannst du das auch als fortgesetzte Addition an der Zahlengeraden darstellen.
2 * 4
kem GanZ GanZErarR 14 Rechnen mit ganzen Zahlen
 
Du stellst 2 mal 4 dar, indem du zweimal nacheinnander einen Pfeil der Länge 4 nach rechts von der Null ab anträgst. Das Ergebnis ist somit 8.
Wenn du eine positive ganze Zahl mit einer negativen ganzen Zahl multiplizierst, dann kannst du dies auch an der Zahlengeraden darstellen.
2 * -4
kem GanZ GanZErarR 15 Rechnen mit ganzen Zahlen
 
Du stellst 2 mal (-4) dar, indem du zweimal nacheinander einen Pfeil der Länge 4 nach links von der Null ab anträgst. Das Ergebnis ist somit (-8).

Ganze Zahlen dividieren

Die Division von ganzen Zahlen ist die zur Multiplikation entgegengesetzte Rechenart.
kem GanZ GanZErarR 16 Rechnen mit ganzen Zahlen

Additions- und Subtraktionsrechnungen vereinfachen

Aus kompliziert scheinenden Rechnungen kannst du mit den folgenden Tipps übersichtliche Rechnungen machen, die du dann leichter lösen kannst.
kem GanZ GanZErarR 17 Rechnen mit ganzen Zahlen

Rechenregeln zur Multiplikation und Division

Bei der Multiplikation oder Division zweier ganzer Zahlen musst du die Vorzeichen der Zahlen beachten.
Haben beide Zahlen ein positives Vorzeichen, dann ist auch das Ergebnis positiv.plus mal plus ist plus“
Hat die erste Zahl ein positives Vorzeichen und die zweite ein negatives Vorzeichen, dann ist das Ergebnis negativ. „plus mal minus ist minus “
Hat die erste Zahl ein negatives Vorzeichen und die zweite ein positives Vorzeichen, dann ist das Ergebnis negativ. „minus mal plus ist minus “
Haben beide Zahlen ein negatives Vorzeichen, dann ist das Ergebnis positiv. „minus mal minus ist plus“

Ganze Zahlen geschickt addieren

Um Additionsaufgaben mit mehreren ganzen Zahlen geschickt zu lösen, helfen dir oft die beiden folgenden Gesetze weiter:
Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) erlaubt dir, die Reihenfolge der Summanden zu vertauschen.
. + 12 + -1073 = -1073 + . + 12
Das Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz) erlaubt dir, in einer Summe beliebig Klammern zu setzen oder entfernen, um bestimmte Teilaufgaben zuerst zu rechnen:
-44 + . + 79 + . + 21 = -44 + . + 79 + . + 21
Da die Position der Klammern die Summe nicht beeinflusst, können sie auch weggelassen werden. Du kannst also auch kurz -44 + . + 79 + . + 21 schreiben.
Wenn du diese Gesetze geschickt anwendest, kann dir das die Lösung einer Aufgabe erleichtern.

Ganze Zahlen geschickt multiplizieren

In der Multiplikation gelten das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz, denen zufolge du alle Faktoren einer Multiplikationsaufgabe beliebig vertauschen darfst.
 
Manchmal ist es vorteilhaft die Faktoren zu vertauschen, zum Beispiel wenn zwei Faktoren miteinander multipliziert eine Zehnerpotenz (10, 100, 1000, …) ergeben.
25 * -23 * 4 = -2300
kem GanZ GanZErarR 18 Rechnen mit ganzen Zahlen
 
Rechne zuerst 25 * 4 = 100 .Anschließend multiplizierst du 100 mit (-23). Dafür musst du nur Nullen anfügen. 100 * -23 = -2300
 
Hättest du jedoch von links nach rechts gerechnet, müsstest du zunächst 25 mit (-23) multiplizieren. Das ist schon recht schwierig im Kopf auszurechnen.

Specials

minus mal minus ist plus
 
Dies kann man aus dem Assoziativgesetz folgern:
[5 + -5 ] + (-(-5)) = 0 + [- (-5)] = -(-5)5 + [ -5 + - -5 ] = 5 + 0 = 5
Also gilt nach dem Assoziativgesetz - -5 = 5 und 0 - -5 = 0 + 5 .
 
Natürlich gilt auch für alle anderen ganzen Zahlen, dass die Gegenzahl der Gegenzahl wieder die Zahl selber ist.