Rechnen mit Wurzeltermen

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Hier erfährst du, wie du mit Wurzeltermen rechnest und welche Regeln du dabei beachten musst.

Definitionsbereich bestimmen

Der Radikand einer Wurzel ist nie negativ. Der maximale Definitionsbereich D von x besteht also aus allen positiven Zahlen und der Null.
 
Kurz: x ist definiert für alle x ≥ 0
Bestimme den Definitionsbereich D von x + 8 .
Definitionsbereich bestimmen
x + 8 ist definiert für alle x, für die der Radikand positiv oder null ist.
 
Also x + 8 ≥ 0.
 
Du kannst die Ungleichung umstellen:
 
kem ReZ ReZRmRgT 1 Rechnen mit Wurzeltermen
D = {x ∈ ℝ | x ≥ -8}
Bestimme den Definitionsbereich D von x - 3 + 5 - x .
Definitionsbereich bestimmen
Der Term x - 3 + 5 - x ist definiert für alle x, für die die Radikanden beider Wurzeln positiv oder null sind.
 
Also x - 3 ≥ 0 und 5 - x ≥ 0.
 
Du kannst beide Ungleichungen umstellen:
 
kem ReZ ReZRmRgT 2 Rechnen mit Wurzeltermen
 
Der Definitionsbereich enthält alle Zahlen, die beide Ungleichungen erfüllen. Diese kannst du in einer Ungleichungskette zusammenfassen.
 
D = {x ∈ ℝ | 3 le x le 5}
 
kem ReZ ReZRmRgT 3 Rechnen mit Wurzeltermen
D = {x ∈ ℝ | 3 le x le 5}
Bestimme den Definitionsbereich D von x 2 x + 5 .
Definitionsbereich bestimmen
Der Term x 2 x + 5 ist definiert für alle x, für die die Radikanden beider Wurzeln positiv oder null sind und zusätzlich der Nenner ungleich null ist.
 
Also: x ≥ 0 und 2 x + 5 gt 0
 
Du kannst die Ungleichung umstellen:
 
kem ReZ ReZRmRgT 4 Rechnen mit Wurzeltermen
 
Für x ≥ 0 gilt immer auch x gt - 5 2 . Also reicht die Einschränkung x ≥ 0 aus.
D = {x ∈ ℝ | x ≥ 0}

Multiplizieren und Dividieren

Multiplikation und Division zweier Wurzeln
 
Die Wurzel eines Produkts kannst du in das Produkt zweier Wurzeln umwandeln.
Multiplikationsregel:
 
x * y = x * y für x, y ge 0
Ebenso kannst du die Wurzel eines Quotienten in den Quotienten zweier Wurzeln umwandeln.
Divisionsregel:
 
x y = x y für x ge 0, y > 0
Für x ≥ 0 gilt:
 
kem ReZ ReZRmRgT 5 Rechnen mit Wurzeltermen
Für x > 0 gilt:
 
kem ReZ ReZRmRgT 6 Rechnen mit Wurzeltermen
Vereinfache x x 3 + 8 x für alle x ≥ 0.
kem ReZ ReZRmRgT 7 Rechnen mit Wurzeltermen
 
Da x ≥ 0, kannst du die Betragsstriche weglassen.
x x 3 + 8 x = x x 2 + 8

Addieren und Subtrahieren

Für das Addieren und Subtrahieren von Wurzeln mit verschiedenen Radikanden gibt es keine Vereinfachungsregel.
 
x + y x + y für x, y > 0 und
 
x - y x - y für x > y > 0.
 
Du kannst auf eine Summe oder eine Differenz von Termen das Distributivgesetz anwenden und gleiche Wurzeln ausklammern.
 
a b + c b = a + c b
 
a b - c b = a - c b
 
für a, b, c ∈ ℝ und b > 0.
8 x + 7 x = 15 x für x ≥ 0.
kem ReZ ReZRmRgT 8 Rechnen mit Wurzeltermen

Teilweise Wurzelziehen

Mit Hilfe der Rechengesetze kannst du teilweise Wurzeln ziehen. Das bedeutet, den Radikanden in ein Produkt aus Quadraten und Termen, die keine Quadrate enthalten, zu zerlegen, um dann die Wurzel aus dem Produkt mit der Multiplikationsregel in ein Produkt aus Wurzeln zu zerlegen. Aus den Quadraten kannst du dann die Wurzel ziehen.
x 2 * y = x y für y, x ≥ 0
Teilweise Wurzelziehen
4 x = 2 x für x ge 0
kem ReZ ReZRmRgT 9 Rechnen mit Wurzeltermen
Vereinfache 2 x y 18 x für alle x, y ≥ 0.
Rechengesetze anwenden
kem ReZ ReZRmRgT 10 Rechnen mit Wurzeltermen
2 x y 18 x = 36 x 2 y
Wurzel teilweise ziehen
kem ReZ ReZRmRgT 11 Rechnen mit Wurzeltermen
 
Da im Definitionsbereich x ≥ 0 angegeben ist, kannst du die Betragsstriche weglassen.
36 x 2 y = 6 x y
Umgekehrt kannst du auch einen Faktor vor der Wurzel in den Radikanden multiplizieren, wenn du ihn dabei quadrierst.
 
x y = x * y = x 2 * y = x 2 * y für x, y ≥ 0.
x 37 = 37 x 2 für x ≥ 0
kem ReZ ReZRmRgT 12 Rechnen mit Wurzeltermen

Brüche kürzen

Wie bei Zahlen kürzt du Brüche mit Wurzeln, indem du Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Faktor dividierst.
 
Durch Kürzen kann sich der Definitionsbereich des Terms ändern. Die angegebene Umformung gilt aber immer nur für den „kleineren“ der beiden Definitionsbereiche.
Kürze den Term 7 - x 2 7 - x für x ≠ 7 .
Du verwendest die dritte binomische Formel: a + b a - b = a 2 - b 2 mit a = 7 und b = x :
 
kem ReZ ReZRmRgT 13 Rechnen mit Wurzeltermen
 
Der Definitionsbereich hat sich durch die Umformung geändert:
 
Der Term auf der linken Seite ist auf D = { 7 } definiert, der Term auf der rechten Seite für alle reellen Zahlen.
 
Die äquivalenz gilt also nur für x ∈ D.
7 - x 2 7 - x = 7 + x